Pembahasan Barisan Dan Deret Geometri

1.     Barisan Geometri

Sebuah barisan U₁, U­₂,  U­_3,  U₄  , . . . ,   U­_n  dikatan barisan geometri, bila berlaku:

U­₂/ U­₁ = U­₃/ U­₂ = U­₄/ U­₁₃= Bilangan konstan

Maka bilangan konstan itu disebut rasio, dinyatakan :

r = U­_n / U­_n-1

a.     Suku ke-n Barisan Geometri

U­_n = a. r^{n – 1}

Contoh :

1)     Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ke-3 yakni 45 dan rasio yakni bilangan positif.

a)     tentukan rasio dan rumus suku k-n

b)     Suku keberapakah pada barisan geometri yang nilainya 1215

Jawab :

a)     U­₁ = a  = 5 dan U­₃ = 45

U­₃ = ar ²

<-> 45 = 5r ²

<-> r ²  = 9

<-> r    = +- 3, maka r = 3

Karena diketahui rasio yakni bilangan positif, maka r = 3

Maka rumus suku ke-n adalah

U_n = ar ^{n – 1} = 5 . (3)  ^{n – 1}

b)     Misalkan  1.215 yakni suku ke-n atau U_n  = 1215

 U_n   = 1215

<->    5. (3) ^{n – 1}  = 1215

<->       (3)  ^{n – 1}  = 243

<->         (3)­­ ^{n – 1} = 3⁵

<->                       n – 1 = 5

<->                n = 6

Jadi 1.215  adalah suku ke-6

2)     Diketahui suku ke-3 barisan geometri yakni 36 dan suku ke-5 yakni 81. Tentukan suku pertama dan rasionya.

Jawab :

U₃ = 36 dan U₅ = 81

U₅ = a . r⁴  = 81

U₃ = a . r²  = 36     :

r² = 9/4

r = 3/2

U₃ = a .  r² = 36

<-> a (3/2)² = 36

<-> a = (36/9) . (4) = 16

Jadi a = 16 dan r = 3/2

b.     Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan banyak sukuadalah ganjil (2k-1), dengan  Suku tengah barisan geometri itu yakni suku ke-k atau U_k  dengan rumus U_k  

Contoh :

1.     Diketahui barisan geometri 1/8, ¼, ½, ... , 128. Banyaknya suku pada barisan geometri ini yakni ganjil.

a.     Carilah suku tengahnya (U_k)

b.     Suku keberapakah suku tengah itu.

c.      Berapa banyak suku barisan tersebut

Jawab :

a.     Barisan geometri 1/8, ¼, ½, ... , 128

b.      Berdasarkan hasil a, maka sanggup diperoleh :

U_k = a r ^{2k – 1} = 4

<-> 1/8 (2) ^{2k – 1} = 4

<->            2 ^{2k – 1}  = 32

<->             2 ^{2k – 1} = 2 ⁵

<->            2k – 1 = 5

<->                  k = 6

Jadi, suku tengahnya yakni suku ke 6.

c.      Banyaknya suku pada barisan tersebut 2k-1=2.6-1=11

2.     Deret Geometri

Jika suku suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka penjumlahan berututan dari suku suku berisan geometri tersebut disebut Deret Geometri.

Contohnya:

Diketahui suatu barisan geometri sebagai berikut : 3, 6, 12, 24, . . . . , 192.

Dari barisan geometri diatas, sanggup dibuat menjadi deret geometri sebagai berikut : 3 + 6 + 12 + 24 + . . .  + 192.

Dari pola diatas, Deret Geometri sanggup didefinisikan sebagai :

Definisi Deret Geometri

Jika u_1, u_2, u_3, u_4, . . . _, u_n, yakni suatu Barisan Geometri, maka u₁ + u₂ + u₃ + u₄ . . .  + u_n  adalah Deret Geometri.

Jika dimisalkan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri disimbolkan dengan S_n sehingga :

S_n = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ . . .  + u_n

S_n = a + ar + ar² + ar³ . . .  + ar^n-1             ---------------------> (1)

Dengan cara mengkalikan (1) dengan r, maka didapat :

rS_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ . . .  + ar^n-1 +arⁿ ---------------------> (2)

Dengan cara mengurangkan masing masing ruas pada persamaan (1) dan persamaan (2), maka didapat :

S_n - rS_n = a - arⁿ

(1-r) S_n = a (1- rⁿ)

S_n = a(1- rⁿ)/ (1-r)     atau S_n = a rⁿ - 1)/ (r - 1)

Dari hasil perhitungan diatas, jumlah n suku pertama deret geometri maka diperoleh hubungan berikut :

Jumlah n suku pertaa deret geometri

u₁ + u₂ + u₃ + . . .  + u_n-2 + u_n-1 + u_n

maka diperoleh

S_n = a(1- rⁿ)/ (1-r)     untuk -1 < r < 1

S_n = a rⁿ - 1)/ (r - 1) untuk r < -1 dan r > 1

Contoh :

Seutas tali dipotong menjadi  tujuh bagian  dengan panjang masing-masing membentuk barisan geometri. Diketahui panjang potongan pertama yaitu 6 cm dan potongan terpanjang yaitu 384 cm. Maka hitunglah panjang seluruh tali sebelum dipotong!
Jawab :

U₁  = a      = 6cm

U₇  = ar⁶    = 384 cm

ar⁶ = 284

6 . r⁶ =286

r⁶     = 64

r       = 2

Sn = a (rⁿ - 1)/r-1

S₇= 6. (2­⁷ – 1)/2-1

S₇= 6. (128 – 1)/2-1

S₇= 6. (127)

S₇= 762

Sumber http://ngajimatematika.blogspot.com

Share this post