Rangkuman Bahan - Koordinat Polar [Kalkulus]

Sistem Koordinat Polar

Sebuah sistem koordinar menyatakan suatu titik pada bidang dengan sepasang bilangan terurut yang disebut koordinat. Seperti yang telah kita ketahui, koordinat Cartesius diperkenalkan oleh Descartes yang merupakan jarak berarah dari dua sumbu yang saling tegak lurus.
Pada pembahasan kali ini aku akan merangkum bahan ihwal suatu sistem koordinat yang disebut  yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih gampang dipakai pada banyak kasus.

Pada sistem koordinat polar ini, kita menentukan sebuah titik pada bidang yang disebut dengan titik kutub atau titik asal. Setelah itu, buat suatu garis yang berawal dari titik asal tersebut yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambar secara horizontal ke kanan dan berimpit dengan sumbu x pada koordinat Cartesius.

Misalkan P yakni suatu titik pada bidang. Jika r yakni jarak dari O (titik asal) ke P , dan $\theta$ yakni sudut (biasanya diukur dalam radian) antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut (r,$\theta$) disebut koordinat polar dari titik P.

Kita sepakati bahwa sudut yakni positif jikalau diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jikalau diukur searah jatum jam. Koordinat (0,$\theta$) menyatakan titik kutub atau titik asal, untuk sembarang nilai $\theta$.

Titik (-r,$\theta$) dan (r,$\theta$) terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama yaitu |r| dari O. Jika r > 0, titik (r,$\theta$) terletak di kuadran yang sama dengan $\theta$.

Dalam koordinat Cartesius, setiao titik hanya mempunyai satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. Titik (r,$\theta$) sanggup juga dinyatakan dengan
$(r,\theta +2n\pi )$ atau $(-r,\theta +(2n+1)\pi )$
dengan n yakni bilangan bundar sembarang.

Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius dapat dijelaskan sebagai berikut.
Jika titik P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$) dan koordinat Cartesius (x,y), maka dengan pertolongan gambar sanggup dilihat kekerabatan berikut ini:
$\cos \theta =\frac{x}{r}$ dan $\sin \theta =\frac{y}{r}$
Sehingga, jikalau kita mengetahui bahwa suatu titk P mempunyai koordinat polar (r,$ \theta$), maka koordinat Cartesiusnya yakni (x,y), dengan x dan y diberikan oleh:
$x=r\cos\theta$  dan $y=r\sin \theta$

Sebaliknya, jikalau kita tahu bahwa suatu titk P mempunyai koordinat Cartesius (x,y), maka koordinat polarnya yakni (r,$\theta$), dimana r dan $\theta$ memenuhi kekerabatan berikut:
$r^2=x^2+y^2$  dan $\tan \theta =\frac{y}{x}$

Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk r = f($\theta$), untuk suatu fungsi f.

Koordinat Polar dalam Kalkulus

Garis Singgung

Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar r = f($\theta$), kita anggap $\theta$ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai:

$x=r\cos \theta =f(\theta )\cos \theta$
$y=r\sin \theta =f(\theta )\sin \theta$

Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung m pada kurva parametrik kita akan peroleh

$m=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{f'(\theta )\sin \theta +f(\theta )\cos \theta }{f'(\theta )\cos \theta +f(\theta )\sin \theta}$

Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan dy/d$\theta$ = 0, asalkan dx/d$\theta$ # 0. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan dx/d$\theta$ = 0, asalkan dy/d$\theta$ # 0.

Luas

Untuk menurunkan rumus luas kawasan yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu memakai rumus luas sektor/juring dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu
$L=\frac{1}{2}r^2\theta$
dengan $\theta$ yakni sudut sentra yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor/juring lingkaran adlah sebanding dengan sudut pusatnya.

Misalkan D yakni kawasan yang dibatasi kurva polar r = f($\theta$) dan oleh dua garis $0\leq b-a\leq 2\pi$ = a dan $\theta$ = b, dimana f  yakni kontinu dan tak negatif serta $0\leq b-a\leq 2\pi$.
Kita membagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung $\theta _{0},\theta _{1},...,\theta _{n}$, dan panjang masing-masing anak selang yakni $\bigtriangleup \theta$. Dengan demikian, kawasan D juga terbagi menjadi n kawasan bagian, yang masing-masing mempunyai sudut sentra $\bigtriangleup \theta$.

Kita pilih $\theta ^*_{i}\in [\theta _{i-1},\theta _{i}]$. Jika $\bigtriangleup L_{i}$ menyatakan luas kawasan bab ke-i, maka kawasan ini sanggup dihampiri dengan luas juring lingkaran dengan jari-jari $f(\theta _{i}^*)$ dan sudut sentra $\bigtriangleup \theta$, yaitu

$\bigtriangleup L\approx \frac{1}{2}(f(\theta ^*_{i}))^2\bigtriangleup \theta$

Sehingga hampiran untuk total luas kawasan D adalah

$L\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(f(\theta ^*_{i}))^2\bigtriangleup \theta$

Perhatikan bahwa jumlah di atas yakni sebuah jumlah Riemann dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas Daerah D jikalau n menuju takhingga.

Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas kawasan D sebagai berikut.

$L=\int_{a}^{b}(f(\theta ))^2d\theta =\int_{a}^{b}\frac{1}{2}r^2d\theta$

Panjang Kurva

Kita ingin menentukan panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f($\theta$) untuk $a\leq \theta \leq b$. Dengan mengasumsikan bahwa f ' kontinu pada selang $[a\leq \theta \leq b]$, kita sanggup memakai teorema panjang kurva untuk menentukan panjang kurva tersebut, yaitu

$P=\int_{a}^{b}\sqrt{\begin{pmatrix} \frac{dx}{d\theta } \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \frac{dy}{d\theta } \end{pmatrix}^2}d\theta$

Karena $x=r\cos \theta$ dan $y=r\sin \theta$, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f($\theta$) untuk $a\leq \theta \leq b$ sanggup ditentukan sebagai berikut:

$P=\int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\begin{pmatrix} \frac{dr}{d\theta } \end{pmatrix}^2}d\theta$

Demikian rangkuam bahan ihwal Koordinat Polar
Semoga bermanfaat


Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post