Contoh Soal Dan Penyelesaiannya - Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear ( Spl )

Pada kesempatan kali ini, akan diberikan 8 pola terapan matriks dalam kehidupan sehari-hari beserta cara untuk menuntaskan problem tersebut.
Nomor 1
Soal: Diketahui Sistem Persamaan Linear (SPL) sebagai berikut:

$p +q-2r+3s-4=0$

$3q+3r=s-2p+3$

$4r+s=5-5p-7q$

(a) Tuliskan SPL di atas dalam notasi matriks AX = B
(b) Periksa apakah SPL di atas mempunyai solusi
Jawab:
(a) Dapat dituliskan,

$\begin{pmatrix} 1 &1 &-2 &3 \\ 2 &3 &3 &-1 \\ 5 &7 &4 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p\\ q\\ r\\ s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}$

(b)  Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar menghasilkan:

Karena p(A|B) # p(A) maka SPL tidak konsisten sehingga tidak mempunyai solusi.

Nomor 2
Soal: Diketahui sistem persamaan linear (SPL) sebagai berikut:
$x+2y=5$
$2x +\alpha y=3$
Tentukan nilai $\alpha$ sehingga SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

Jawab:

Agar SPL mempunyai penyelesaian tunggal maka haruslah
p(A) = p(A|B) = 2    <==>    a - 4 # 0    <==>   a # 4

Nomor 3
Soal: Diberikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut:

$x_{1}+x_{2}=2$

$x_{1}+\alpha x_{2}=4$

Tentukan nilai $\alpha$ sedemikian sehingga:
(a) SPL mempunyai persamaan tunggal
(b) SPL mempunyai takhingga banyak solusi
(c) SPL tidak mempunyai solusi
Jawab:
Operasi baris dasar terhadap matriks diperbesar (A|B) menghasilkan:

(a) SPL mempunyai solusi tunggal kalau dan hanya jika
p(A) = p(A|B) =2   <===> a - 1 # 0 <===> a # 1

(b) SPL mempunyai takhingga banyak solusi kalau dan hanya jika
p(A) = p(A|B) < 2     <===>    a anggota dari himpunan kosong

(c) SPL tidak mempunyai solusi kalau dan hanya jika
p(A) # p(A|B)    <===>   a - 1 = 0    <===>   a = 1

Nomor 4
Soal: Sebuah perusahaan akan menciptakan dua jenis sampo, yaitu sampo A dan sampo B. Bahan baku yang tersedia cukup untuk menciptakan setiap jenis sampo tetapi botol yang tersedia hanya 75000 buah. Waktu yang dibutuhkan untuk menciptakan 1000 sampo A dan 1000 sampo B berturut-turut ialah 5 jam dan 2 jam. Berapa botol sampo A dan sampo B yang sanggup dibentuk semoga seluruh botol terpakai dalam waktu 300 jam?
Jawab:
Misalkan a dan b berturut-turut menyatakan banyaknya sampo A dan B yang sanggup dibentuk (dalam botol).
Masalah di atas sanggup dutuliskan dalam bentuk SPL sebagai berikut:
$a+b=75000$
$\frac{5}{1000}a+\frac{2}{1000}b=300$
atau
$\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 5 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 75000\\ 300000 \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 5 &2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 75000\\ 300000 \end{pmatrix}$
                                                   $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50000\\ 25000 \end{pmatrix}$

Sehingga banyaknya sampo A yang sanggup dibentuk yaitu 50000 dan sampo B yaitu 25000

Jangan lupa, baca juga : 

• Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks  
• Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
• Matriks - Penjumlahan/Pengurangan Dan Perkalian Dengan Skalar  
• Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi

Nomor 5
Soal: Toko makanan ringan bagus dan roti "Merdeka" akan memproduksi 3 jenis roti spesial, yaitu A, B, dan C. Sebuah roti jenis A membutuhkan 1 kg tepung, 2 kg mentega dan 2 kg gula. Sebuah roti jenis B membutuhkan 1 kg tepung, 3 kg mentega, dan 2 kg gula. Sebuah roti jenis C membutuhkan 2 kg tepung, 2 kg mentega dan k kg gula. Toko tersebut mempunyai persediaan 400 kg tepung, 200 kg mentega dan 900 kg gula. Diinginkan persediaan setiap materi habis dan setiap jenis roti diproduksi.
(a) Rumuskan problem di atas dalam bentuk sistem persamaan linear (SPL)
(b) Tentukan nilai k semoga semua janis roti diproduksi
Jawab:
(a) SPL:
$a+b+2c=400$
$2a+3b+2c=700$
$2a+2b+kc=900$
Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar menghasilkan

semoga SPL konsisten k # 4
(b) Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ( SPL ):
     $c=\frac{100}{k-4}$
     $b=-100+2c=-100+\frac{200}{k-4}=\frac{600-100k}{k-4}$
     $a=400-b-2c=400-\frac{600-100k}{k-4}=\frac{500k-2400}{k-4}$
Agar semua jenis roti diproduksi, haruslah a,b,c merupakan bilangan-bilangan positif, sehingga:
$c> 0\Leftrightarrow \frac{100}{k-4}> 0\Leftrightarrow k-4> 0\Leftrightarrow k> 4$
$b> 0\Leftrightarrow \frac{600-100k}{k-4}> 0\Leftrightarrow 600-100k> 0\Leftrightarrow 6> k$
$a> 0\Leftrightarrow \frac{500-2400k}{k-4}> 0\Leftrightarrow 500-2400k> 0\Leftrightarrow k> \frac{24}{5}$
atau secara singkat

$\frac{24}{5}< k< 6$

Dapat diperiksa bahwa satu-satunya k yang menghasilkan a, b, c bundar positif ialah k = 5, sehingga
$\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 100\\ 100\\ 100 \end{pmatrix}$

Nomor 6
Soal: Dua kelompok siswa masing-masing 12 orang pergi bertamasya ke "AMAZING TRADITIONAL PARK". Di sana tersedia kemudahan rekreasi dengan harga tiket kelipatan Rp 10.000. Siswa di kelompok menentukan permainan "Ciut Nyali", "Ayun Gantung" dan "Terbang Nyungsep" masing-masing 3 , 6 dan 3 orang. Di kelompok B, permainan "Ciut Nyali" dipilih 2 siswa, permainan "Ayun Gantung" dan " Terbang Nyunsep" masing-masing dipilih 5 orang siswa. Jika kelompok A dan B masing-masing membayar total Rp 270.000 dan Rp 250.000.
Pertanyaannya:
(a) Formulasikan msalah tersebut ke dalam SPL
(b) Selesaikan SPL tersebut dan tentukan harga tiket masing-masing permainan tersebut
Jawab:
(a) Misalkan:
x = harga tiket permainan "Ciut Nyali"
y = harga tiket permainan "Ayun Gantung"
z = harga tiket permainan "Terbang Nyungsep"
3x + 6y + 3z = 270000
2x + 5y + 5z = 250000
dengan x,y,z > 0 dan x,y,z = 10000k, dimana k: bilangan bundar positif.

(b) Untuk soal b, penyelesaiannya sebagai berikut

Diperoleh
x + 2y + z = 90000
y + 3z = 70000 <===> y =70000 - 3z

Misalkan z = k, maka:
y = 70000 - 3z
x = 90000 - 2y - z
   = 5k - 50000

Diperoleh

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5k-50000\\ 70000-3k\\ k \end{pmatrix}$

Diketahui:
x,y,z > 0 artinya:

5k - 50000 > 0
70000 - 3k > 0
k > 0
atau:
10000 < k < 70000/3

karena x,y,z = 10000k dimana k: bilangan positif maka k = 20000 sehingga

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50000\\ 10000\\ 20000 \end{pmatrix}$

Jadi:
Harga tiket permainan "Ciut Nyali" ialah Rp 50000
Harga tiket permainan "Ayun Gantung" ialah Rp 10000
Harga tiket permainan " Terbang Nyunsep" ialah Rp 20000

Nomor 7
Soal: Tahun kemudian Pak Karta membeli sejumlah saham tiga perusahaan, yaitu PT OgahRugi, PT FulusTerus dan PT SemogaJaya. Harga perlembar saham PT OgahRugi sebesar $50, PT FulusTerus $40 dan PT SemogaJaya  sebesar $30. Pak Karta menghabiskan uang sebesar $23200 untuk membeli saham ketiga perusahaan tersebut, dengan banyaknya saham PT FulusSaham yang dibeli ialah dua kali lipat banyaknya saham PT SemogaJaya. Tahun ini harga saham PT OgahRugi naik 20% sedangkan harga saham kedua  perusahaan lainnya naik 10%. Pak Karta menjual seluruh sahamnya dengan harga $3320 lebih tinggi daripada harga ketika ia membelinya. Berapa banyaknya saham setiap perusahaan yang dibeli oleh Pak Karta tahun lalu?
Jawab:
Misalkan:
x : banyaknya saham PT OgahRugi yang dibeli Pak Karta tahun lalu
y : banyaknya saham PT FulusTerus yang dibeli Pak Karta tahun lalu
z : banyaknya saham PT SemogaJaya yang dibeli Pak Karta tahun lalu

SPL:
50x + 40y + 30z = 23200
y =  2z
50.120% x + 40.110% y + 30.110% z = 23200 + 3320

Secara ekuivalen
5x + 4y + 3z =2320
y - 2z = 0
60x + 44y + 33z = 26520

Dalam notasi matriks:

$\begin{pmatrix} 5 &4 &3 \\ 0 &1 &-2 \\ 60 &44 &33 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2320\\ 0\\ 26520 \end{pmatrix}$

Solusinya:

Sehingga diperoleh:

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 200\\ 240\\ 120 \end{pmatrix}$

Nomor 8
Soal: Seorang pedagang grosir pakaian bawah umur di Pasar Anyar menjual kaos dalam serap keringat harga Rp 5000/3 buah, celana pendek anti sobek Rp 9000/buah dan kemeja tanpa kerah Rp 10000/buah. Menjelang lebaran yang kemudian Mang Apud pedagang keliling di kampung Babakan membeli kaus dalam, celana pendek, dan kemeja yang seluruhnya sebanyak 90 buah seharga total Rp 436000. Dengan memakai SPL, tentukan banyaknya kaos dalam, celana pendek, dan kemeja yang dibeli Mang Apud!
Jawab:
Misalkan:
x : banyaknya kaos dalam yang dibeli
y: banyaknya celana pendek yang dibeli
z: banyaknya kemeja yang dibeli
SPL:
$x+y+z=90$
$\frac{5000}{3}x+9000y+10000z=436000$
Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar:

Dari baris kedua diperoleh
$22y+25z=858\Leftrightarrow y+\frac{25}{22}z=39$
Karena z merupakan bilangan bundar positif maka penyelesaian yang mungkin bagi z ialah 22, 44, 66,...
Dan sebab y juga merupakan bilangan bundar positif maka $z\geq 44$ ialah mustahil sehingga satu-satunya penyelesaian bagi z ialah 22.
Selanjutnya diperoleh:
y + 25 = 39 <==> y = 14
Dari baris pertama jadinya diperoleh:
x = 90 - 14 - 22 = 54
Jadi,

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 54\\ 14\\ 22 \end{pmatrix}$

Samapi disini yaaa Gengs pola soal dan penyelesaiannya.

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post