Menentukan Volume Benda Putar Dengan Integral (Metode Kulit Tabung)
Untuk memilih volume benda putar dengan integral dapat dipakai 2 metode atau cara. Metode tersebut ialah metode cakram (Baca: Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral (Metode Cakram) dan metode kulit tabung. Menambahkan pilihan dari metode sebelumnya, pada halaman ini akan diuraikan bagaimana cara menghitung volume benda putar dengan metode Kulit Tabung.
Diputar Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, y = g(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(x)| \geq |g(x)| \, $ ialah
Sumber http://www.marthamatika.com/
Volume kawasan 1 Kurva
Perhatikan dua gambar di bawah ini, misalkan kawasan awal bubuk abu, dan hasil pemutaran dengan warna kuning,
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ adalah
$Volume \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b xf(x) dx $
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ adalah
$ Volume\, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b f(y) . y dy $
Contoh Soal dan Pembahasan:
Soal 1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = -x^3 + 4x , \, x = 0, \, x = 1 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y $ 360^\circ $ !
Pembahasan:
Jika gambarkan akan diperoleh,
Volume dapat dihitung sebagai berikut,
$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b xy dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 x(-x^3 + 4x) dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 (-x^4 + 4x^2) dx \\ & = 2\pi [\frac{-1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3]_0^1 \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5}.1^5 + \frac{4}{3}.1^3] - [\frac{-1}{5}.0^5 + \frac{4}{3}.0^3]) \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5} + \frac{4}{3} ] - [0]) \\ & = 2\pi ( \frac{-3}{15} + \frac{20}{15} ) \\ & = 2\pi ( \frac{17}{15} ) \\ & = \frac{34}{15} \pi \\ & = 2\frac{4}{15} \pi \end{align} $
Volume Daerah dibatasi 2 Kurva
Untuk menghitung volume benda putar dengan metode kulit tabung pada kasus dua kurva anda dapat gunakan rumus berikut.
Diputar Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, x = g(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(y)| \geq |g(y)| \, $ adalah
$ Volume\, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b [f(y) - g(y)] y dy $
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, y = g(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(x)| \geq |g(x)| \, $ ialah
$ Volume \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx $
Contoh Soal dan Penyelesaian
Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = \frac{1}{3}x^2 , \, y = x , \, x = 0, \, x = 2 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y $ 360^\circ $ !
Pembahasan:
Jika digambarkan akan diperoleh bentuk kawasan asal,
Volume jikalau area tersebut diputar terhadap sumbu y dapat dihitung sebagai berikut,
$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 x[x - \frac{1}{3}x^2] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 (x^2 - \frac{1}{3}x^3) dx \\ & = 2\pi [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_0^2 \\ & = 2\pi ( [\frac{1}{3}.2^3 - \frac{1}{12}.2^4] - [\frac{1}{3}.0^3 - \frac{1}{12}.0^4] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{8}{3} - \frac{4}{3} ] - [0] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{4}{3} ] ) \\ & = \frac{8}{3} \pi \\ & = 2\frac{2}{3} \pi \end{align} $
0 Response to "Menentukan Volume Benda Putar Dengan Integral (Metode Kulit Tabung)"
Posting Komentar