Contoh Soal Sbmptn Matriks I

Pada halaman ini akan aku bahas beberapa soal SBMPTN yang berkaitan dengan matriks. Di soal dan pembahasan matriks bab I ini kita batasi pembahasan perihal operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian pada matriks, kesamaan dua matriks dan determinan matriks.

#Soal 1. Jika diketahui $$A=   \begin {pmatrix} 1 &1 \\ -1 &1 \end {pmatrix}  \text { dan } \\ B=   \begin {pmatrix} 0 &1 \\ 0 &1 \end {pmatrix} $$
Maka nilai (A+B) (A-B)- (A-B) (A+B) adalah....

Pembahasan:
Untuk Menjumlahkan atau mengurankan matriks, entri yang seletak dijumlah/dikurangkan. Sementara untuk mengalikan matriks kalau belum bisa, harus membaca: Cara Mengalikan Matriks +Kalkulator Perkalian Matriks. $$A+B=   \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \\ A-B =   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ -2 &1 \end{pmatrix}  \\ (A+B)(A-B)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}     \begin{pmatrix} 1 &0 \\ -2 &1 \end{pmatrix}  \\ (A+B)(A-B)=   \begin{pmatrix} -3 &2 \\ -2 &1 \\  \end{pmatrix}    \\ (A-B)(A+B)=   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ -2 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}  \\ (A-B)(A+B)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}  \\ (A+B)(A-B)-(A-B)(A+B)=  \begin{pmatrix} -3 &2 \\ -2 &1 \\  \end{pmatrix} -   \begin{pmatrix} 1 &2 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}  \\ =  \begin{pmatrix} -4 &0 \\ 0 &4 \end{pmatrix}  \\ = 4   \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}  $$

#Soal 2. Jika diketahui $$P=  \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}  \text { dan } \\ I=   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 &0 \end{pmatrix}  $$ Maka nilai dari -P⁴+2P³+3P²+4I=...
a) -2P   b) -P   c) P   d) I    e) 2P
Pembahasan: $$P= \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}  \\ P^2=PxP \\ P^2 =   \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}    \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}  \\ P^2 = \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}  \\ P^2 = -   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}  \\ P^2 = -I$$
P³=P.P.P=P² .P =-I.P =-P (Ingat: Matriks dikali dengan I(Identitas) kesudahannya tetap matriks itu jua)
P⁴= P.P.P.P = P²P.P = P³.P = -P.P=-P² =-(-I)=I
-P⁴+2P³+3P²+4I=- I +2(-P)+3(-I)+4I = -2P.

#Soal 3. Nilai x, y, z yang memenuhi, $$ \begin{pmatrix} 4 & x-2 \\ 3 &2 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} -6 &8 \\ -11 &y \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 3 &1 \\ -2 &4 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 0 &3 \\ z &1 \end{pmatrix} $$ Nilai dari x+y+z adalah:
a) -10   b) -6    c) -2   d) 6    e) 10

Pembahasan:
Selesaikan masing masing ruas terlebih dahulu. $$  \begin{pmatrix} 4 & x-2 \\ 3 &2 \end{pmatrix}  +  \begin{pmatrix} -6 &8 \\ -11 &y \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 3 &1 \\ -2 &4 \end{pmatrix}   \begin{pmatrix} 0 &3 \\ z &1 \end{pmatrix}  \\   \begin{pmatrix} -2 & x+6 \\ -8 &y+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 10 \\ 4z &-2 \end{pmatrix}  $$
Entri yang posisinya sama niscaya nilainya sama
z=-2
x+6=10 ==> x=4 
y+2=-2 ==> y = -4
x+y+z=4+(-4)+(-2)=-2

#Soal 4. Diketahui matriks: $$ A= \begin{pmatrix} 1 & (a+b) \\ b &c \end{pmatrix}  \\ B=   \begin{pmatrix} a-1 &0 \\ -c &d \end{pmatrix}  \\C=   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 &1 \end{pmatrix}  $$ Nilai dari A+B^T = C² , (B^T = Transpose B). Maka nilai d =...
a) -2    b) -1    c)0    d)1   e)2

Pembahasan:
Transpose= Mengubah baris jadi kolom dan kolom menjadi baris. $$B^T=   \begin{pmatrix} a-1 &-c \\ 0 &d \end{pmatrix}  \\ C^2 = C.C=  \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 &1 \end{pmatrix}   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 &1 \end{pmatrix}  \\ C^2=  \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2 &1 \end{pmatrix}  \\ A+B^T= C^2 \\ \begin{pmatrix} 1 & (a+b) \\ b &c \end{pmatrix}  +  \begin{pmatrix} a-1 &-c \\ 0 &d \end{pmatrix}  =   \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2 &1 \end{pmatrix}   \\    \begin{pmatrix} a &a+b-c \\ b & c+d \end{pmatrix}   =  \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2 &1 \end{pmatrix}  $$ Entri yang seletak disamakan.
a=1
b=2
a+b-c =0 ; 1+2-c=0 ; c=3
c+d=1 ;3+d =1 ; d=-2

#Soal 5. Diketahui matrik   $$A=  \begin{pmatrix} 2 &1 \\0 & -1 \end{pmatrix} $$. Dan I adalah matriks identitas. Nilai n yang memenuhi |A-n.I|=0 adalah...
a) -1 atau 0    b) -1 atau 2   c) -1 atau 3   d) 1 atau 3   d) 2 atau 3.

Pembahasan:   $$    \left | A-nI \right |=0 \\ \left | \begin{pmatrix} 2 &1 \\0 & -1 \end{pmatrix} - n \begin{pmatrix} 1 &0 \\0 & 1 \end{pmatrix}  \right| = 0 \\ \left | \begin{pmatrix} 2 &1 \\0 & -1 \end{pmatrix}  - \begin{pmatrix} n &0 \\0 & n \end{pmatrix}  \right| = 0 \\ \left |  \begin{pmatrix} 2-n &1 \\0 & -1-n \end{pmatrix}  \right | =0 \\ \text {ingat rumus determinan} \\ \left |   \begin{pmatrix} a &b \\c & d \end{pmatrix}  \right | =ad-bc \\ (2-n)(-1-n)-0.1 =0 \\ (2-n)(-1-n) \\ 2-n = 0 \rightarrow n=2 \\ -1-n =0 \rightarrow n=-1$$ Makara nilai n yang memenuhi adala 2 atau -1.
Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post