Faktor Prima Dan Bilangan Prima : Pola Soal Dan Pembahasan

Bilangan Prima

Apa itu bilangan??
Baca selengkapnya ihwal bilangan  DISINI

Apa itu bilangan prima??
Bilangan prima ialah bilangan bundar nyata yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya, 7 ialah bilangan prima alasannya ialah faktor-faktor dari 7 ialah 1 dan 7. Bilangan-bilangan prima yang pertama ialah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan seterusnya.
Perhatikan bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima alasannya ialah ia hanya mempunyai satu faktor dan 4 bukanlah bilangan prima alasannya ialah 4 sanggup dibagi dengan angka 2.

Contoh Bilangan Prima
Bilangan prima yang kurang dari 20
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Bilangan prima yang kurang dari 50
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Bilangan prima yang berada pada rentang [40,100]
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Bilangan prima yang kurang dari 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Bilangan prima tiga digit pertama
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263

Bilangan prima empat digit pertama
1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181

Bilangan prima terbesar
Tidak ada bilangan prima terbesar alasannya ialah jumlah bilangan yang tak tehingga. Tahun 2007 ditemukan bil prima 2^23.582.657-1. Bilangan ini terdiri dari 9.808.358 digit.

Faktor Prima

Apa itu faktor prima??
Faktor prima ialah faktor-faktor dari bilangan bundar yang merupakan bilangan prima. Faktor prima sanggup dipakai untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan bulat.

Bagaimana cara mencari faktor prima dari sebuah bilangan?
Untuk mencari faktor prima dari sebuah bilangan, kita sanggup membagi bilangan itu dengan bilangan prima secara berulang-ulang.

Soal: Carilah faktor prima dari 16
Jawab:

Berikut ini merupakan langkah-langkah yang sanggup kita lakukan.

Pertama:

Bagi 16 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 16 yaitu 2

16 ÷ 2 =8

Kedua:

Bagi 8 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 8 yaitu 2

8 ÷ 2 =4

Ketiga: 

Bagi 4 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 4 yaitu 2

4 ÷ 2 = 2

2 ialah bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya ialah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.
Sehingga faktor prima dari 16 ialah 2 × 2 × 2 ×2

Soal: Carilah faktor prima dari 36
Jawab:

Berikut ini merupakan langkah-langkah yang sanggup kita lakukan.

Pertama:

Bagi 36 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 36 yaitu 2

36 ÷ 2 =18

Kedua:

Bagi 18 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 18 yaitu 2

18 ÷ 2 = 9

Ketiga: 

Bagi 9 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 9 yaitu3

9 ÷ 3 =3

3 ialah bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya ialah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.
Sehingga faktor prima dari 36 ialah 2 × 2 × 3 × 3

Soal: Carilah faktor prima dari 72
Jawab:

Berikut ini merupakan langkah-langkah yang sanggup kita lakukan.

Pertama:

Bagi 72 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 72 yaitu 2

72 ÷ 2 =36

Kedua:

Bagi 36 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 36 yaitu 2

36 ÷ 2 =18

Ketiga: 

Bagi 18 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 18 yaitu 2

18 ÷ 2 =9

Ketiga: 

Bagi 9 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 9 yaitu 3

9 ÷ 3 = 3

3 ialah bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya ialah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.
Sehingga faktor prima dari 72 ialah 2 × 2 × 2 × 3 × 3

Soal : Carilah faktor prima dari 42 !

Jawab :

Pertama:

Bagi 42 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 42 yaitu 2

Kedua:

42 ÷ 2 = 21

Ketiga:

Bagi 21 dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 21 yaitu 3

Keempat:

21 ÷ 3 = 7

Dari sini kita berhenti alasannya ialah 7 tidak sanggup dibagi lagi dengan bilangan prima [7 ialah bilangan prima]. Sehngga faktor dari 42 yaitu 2 × 3 × 7

Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

Faktor Persekutuan Terbesar [FPB]
Faktor Persekutuan Terbesar [FPB] dari dua bilangan bundar nyata ialah bilangan bundar nyata terbesar yang membagi habis kedua bilangan tersebut. FPB mempunyai kegunaan untuk menyederhanakan pecahan. Lihat klarifikasi di bawah untuk berguru metode-metode untuk mencari FPB.
Bagaimana mencari faktor komplotan terbesar [FPB].
Ada beberapa cara / metode untuk menemukan faktor komplotan terbesar. Di bawah ini ialah beberapa di antaranya
1. Mencari faktor prima
2. Pembagian dengan bilangan prima
3. Algoritma Euclid

1. Mencari faktor prima

Soal: Carilah FPB dari 24 dan 60
Jawab:
Untuk memakai metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Lalu, kita cari faktor prima komplotan dari kedua bilangan tersebut.
Faktor prima persekutuannya ialah 2, 2, dan 3.
Faktor komplotan terbesar (FPB) dari 24 dan 60 ialah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2 × 2 × 3 = 12

Soal: Carilah FPB dari 6 dan 14
Jawab:
Untuk memakai metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan.
6 = 2 × 3
14 = 2 × 7
Lalu, kita cari faktor prima komplotan dari kedua bilangan tersebut.
Faktor prima persekutuannya ialah 2.
Faktor komplotan terbesar (FPB) dari 6 dan 14 ialah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2.

Soal: Carilah FPB dari 28 dan 42
Jawab:
Untuk memakai metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan.
28 = 2 × 2 × 7
42 = 2 × 3 × 7
Lalu, kita cari faktor prima komplotan dari kedua bilangan tersebut.
Faktor prima persekutuannya ialah 2 dan 7.
Faktor komplotan terbesar [FPB] dari 6 dan 14 ialah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2 × 7 = 14 .

2. Pembagian dengan bilangan prima

Soal: Carilah FPB dari 24 dan 60
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya yaitu 2.
2  |  24   60
__________
      12    30
Kedua:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya yaitu 2
2 |  12    30
    _________
      6     15
Ketiga:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya yaitu 3
3 |   6     15
      ______
       2     5
Sedemikian sehingga FPB-nya ialah 2 × 2 × 3 = 12.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

Soal: Carilah FPB dari 6 dan 14
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya yaitu 2.
2  |  6   14
__________
      3    7
Sehingga FPB-nya ialah 2.

Soal: Carilah FPB dari 28 dan 42
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya yaitu 2.
2  |  28  42
__________
      14   21
Kedua:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya yaitu7.
7 |  14   21
    _________
      2    3
Sedemikian sehingga FPB-nya ialah 2 × 7 = 14.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

3. Algoritme Euclid

Soal: Carilah FPB dari 24 dan 60
Jawab:Algoritma ini mencari FPB dengan cara melaksanakan pembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan yang hendak kita cari FPBnya hingga kita mendapat sisa 0 dari hasil pembagian.
Misalnya untuk referensi kita di atas, 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid ialah sebagai berikut.
Pertama:
Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil.
Kita bagi 60 dengan 24 dan balasannya ialah 2 dengan sisa 12.
Kedua: 
Lalu kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 12). Sehingga
24 dibagi 12, kita dapatkan balasannya 2 dan sisanya 0.
Karena kita sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi ialah FPBnya, yaitu 12.

Soal: Carilah FPB dari 40 dan 64
Jawab:
Pertama:
Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Kita bagi 64 dengan 40 dan balasannya ialah 1 dengan sisa 24.
Kedua:
Lalu kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 40) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 24). Sehingga
40 dibagi 24, kita dapatkan balasannya 1 dan sisanya 16
Ketiga:
Kemudian kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 16). Sehingga
24 dibagi 16, kita dapatkan balasannya 1 dan sisanya8
Keempat:
Kemudian kita bagi lagi dengan bilangan yang lebih kecil (yaitu 16) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 8). Sehingga
16 dibagi 8, kita dapatkan balasannya 2 dan sisanya 0
Karena kita telah memperoleh sisanya 0, maka langkah kita hingga disini.
Karena 8 merupakan angka terakhir yang kita gunakan untuk dibagi maka FPB dari 40 dan 64 ialah 8.

Kelipatan Persekutuan Terkecil [KPK]
Kelipatan Persekutuan Terkecil [KPK] dari dua bilangan bundar nyata ialah bilangan bundar terkecil yang merupakan kelipatan dari kedua bilangan itu.

Bagaimana mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil ?
Beberapa cara / metode untuk mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil [KPK] ialah sebagai berikut.
1. Mencari faktor prima
2. Pembagian dengan bilangan prima
3. Rumus

1. Mencari faktor prima
Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60.
Jawab:
Pertama-tama:
Carilah dahulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks sebagai berikut.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Setelah ditentukan faktor-faktor primanya selanjutnya yaitu tentukan kelipatan komplotan terkecil [KPK] dari kedua bilangan tersebut. KPK ialah hasil perkalian setiap faktor prima yang mempunyai pangkat terbesar. Sehingga KPKnya ialah 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

Soal: Carilah KPK dari 28 dan 42
Jawab:
Carilah dahulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks sebagai berikut.
28 = 2 × 2 × 7
42 = 2 × 3 × 7
Setelah ditentukan faktor-faktor primanya selanjutnya yaitu tentukan kelipatan komplotan terkecil [KPK] dari kedua bilangan tersebut. KPK ialah hasil perkalian setiap faktor prima yang mempunyai pangkat terbesar. Sehingga KPKnya ialah 2 × 7 = 14.

2. Pembagian dengan bilangan prima
Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60.
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 24 dan 60 ialah 2. Sehingga
2  |  24   60
__________
       12   30
Kedua:
Bagi kedua bilangan denga bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 12 dan 30 ialah 2. Sehingga:
2  |  12   30
__________
       6     15

Ketiga:
Bagi kedua bilangan denga bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 6 dan 15 ialah 3. Sehingga:

3  |  6    15
__________
       2     5
Karena 2 dan 5 sudah merupakan bilangan prima maka langkah kita hingga di sini. Dengan demikian KPK dari 24 dan 60 ialah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

Soal: Carilah KPK dari 28 dan 42
Jawab:
Pertama:
Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 28 dan 42 ialah 2. Sehingga
2  |  28   42
__________
       14  21
Kedua:
Bagi kedua bilangan denga bilangan prima terkecil yang sanggup membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang sanggup membagi 14 dan 21 ialah 7. Sehingga:
7  |  14  21
__________
        2    3

Karena 2 dan 3 sudah merupakan bilangan prima maka langkah kita hingga di sini. Dengan demikian KPK dari 24 dan 42 ialah 2 × 7 × 2 × 3 =84.
Cara tersebut kita kenal dengan nama POHON FAKTOR.

3. Rumus
Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60.
Jawab:
Jika kita tahu FPB dari bilangan bundar a dan b, kita sanggup menghitung KPKnya dengan memakai rumus berikut ini.
                          a × b
KPK[a,b] =  -------------
                      FPB[a,b]

Soal: Carilah KPK dari 24 dan 60
Jawab:
                            24 × 60
  KPK[24,60] =  -----------  = 120
                               12   

Catatan: Cara rumus sanggup kita gunakan apabila:

1. Yang di tanyakan ialah mencari KPK dan FPB-nya telah diketahui,
2. Yang di tanyakan ialah mencari FPB dan KPK-nya telah diketahui.

Soal: Carilah KPK dari 28 dan 42
Jawab:
                               28 × 42  
  KPK[28,42] =  -----------  = 14
                                  84 

Semoga bermanfaat
Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post