Matriks - Penjumlahan/Pengurangan Dan Perkalian Dengan Skalar

PENDAHULUAN

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar. Pemberian nama pada matriks ditulis dengan karakter besar, contohnya A, B, C,...,Z, dan setiap matriks akan memiliki baris dan kolom. 

Banyaknya baris dan kolom ini memilih ukuran atau ordo matriks. Misalnya matriks A memiliki baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka ordo matriks A adalah m x n, dengan m dan n merupakan bilangan bundar positif. Secara umum sanggup ditulis matriks A =  $(a_{ij})$, dengan $(a_{ij})$ ialah elemen matriks A dengan i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n. 

 Atau matriks A sanggup ditulis dalam bentuk:

Contoh:

Definisikan matriks A  = $(a_{ij})$  yang berukuran 4 x 4 dengan

dengan i = 1,2,3,4 dan j = 1,2,3,4. Tentukan matriks A

Jawab
$A = \begin{pmatrix} 1 &1+2 &1+3 &1+4 \\ 0 &1 &2+3 &2+4 \\ 0 &0 &1 &3+4 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &3 &4 &5 \\ 0 &1 &5 &6 \\ 0 &0 &1 &7 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$

Submatriks dari matriks A adalah sembarang matriks yang didapatkan dengan cara menghilangkan beberapa baris atau kolom tertentu dari matriks A. Matriks A sendiri sanggup dipandang sebagai submatriks dari A.

Contoh:

Submatriks dari matriks $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \\ \end{pmatrix}$ antara lain adalah: 

$\begin{pmatrix} 1 &3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 &8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 &5 &6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 7 &9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$ 

 

Bentuk Matriks Khusus

1. Suatu matriks disebut matriks segi, kalau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Jika banyaknya kolom = banyaknya baris = n, maka matriks tersebut dikatakan matriks segi berordo n atau berukuran n. Sedangkan elemen elemen $a_{11},a_{22}, ... ,a_{nn}$ disebut elemen diagonal utama.
2. Suatu matrik segi disebut matriks segitiga atas, kalau elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Sedangkan matriks segitiga bawah, kalau elemen di atas diagonal utama bernilai nol.
3. Suatu matriks segi disebut matriks identitas, kalau semua elemen diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan yang lainnya bernilai nol. Matriks identitas berukuran n, diberi notasi $I_{n}$. 

Contoh:

 $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &8 \\ 1 &1 &9 \end{pmatrix}$ merupakan matriks segi berordo/berukuran 3, alasannya ialah banyaknya baris = banyaknya kolom = 3

$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &4 &6 \\ 0 &0 &9 \end{pmatrix}$ merupakan  matrik segitiga atas, alasannya ialah semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

OPERASI MATRIKS

Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Matriks serta Perkalian dengan Skalar

Tinjau A dan B dua matriks yang berukuran sama, misalkan ukurannya m x n

$A= \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &. &. &. &b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} &. &. &. &b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ b_{m1} &b_{m2} &. &. &. &b_{mn} \end{pmatrix}$

Penjumlahan dan pengurangan matrik A dan B, ditulis AB adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkn elemen-elemen yang seletak antara matriks A dan B, yaitu:

$A \pm B= \begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11} &a_{12}\pm b_{12} &. &. &. &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21} &a_{22}\pm b_{22} &. &. &. &a_{2n}\pm b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1}\pm b_{m1} &a_{m2}\pm b_{m2} &. &. &. &a_{mn}\pm b_{mn} \end{pmatrix},$

Penjumlahan dan pengurangan matrik tidak sanggup dilakukan kalau kedua matriks berbeda ukurannya.

Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan setiap elemen A dengan skalar k, yaitu:

$kA = \begin{pmatrix} ka_{11} &ka_{12} &. &. &. &ka_{1n} \\ ka_{21} &ka_{22} &. &. &. &ka_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ ka_{m1} &ka_{m2} &. &. &. &ka_{mn} \end{pmatrix},$

Contoh:

Misalkan matriks

Hukum-Hukum pada Penjumlahan/Pengurangan  dan Perkalian Skalar 

Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran sama dan $k_{1} k_{2}$  skalar, maka

1. ( A + B ) + C = A + ( B + C )
2. A + ( -A )=O
3. A + B = B + A
4.  $k_{1}$ ( $k_{1}$ A + $k_{1}$ B ) =
5. 0A = O  

Catatan: O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

Perkalian Matriks

Tinjau matriks A = (), dan B = (), dengan banyaknya kolom matrik A sama dengan banyaknya baris matriks B. Misalkan A berukuran m x p dan B berukuran p x n, maka matriks hasil kali A dan B ialah berukuran m x n yang elemen ke-ij diperoleh dari mengalikan baris ke-i dari matriks A dengan kolom ke-j dari matriks B, menyerupai dibawah ini.

dengan,

$c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ 

Contoh

Misalkan matriks

Perhatikan, ukuran matriks A adalah 2 x 3 dan matriks B berukuran 3 x 1, sehingga matriks hasil perkalian AB berukuran 2 x 1 menyerupai berikut:

Hukum-Hukum pada Perkalian Matriks

1. ( A B )  C = A  ( B C )                Hukum assosiatif
   
2.  A ( B + C ) = A B + A C           Hukum Distributif Kiri
3. ( B + C ) A = B A + C A            Hukum Distributif Kanan
4. k ( AB ) = ( k A ) B = A ( k B)    k skalar

Catatan: AB # BA

Contoh:

 

Misalkan matriks

maka:

$A+B = \begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}$

$3(A+B) = 3\begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$

$3A+3B = 3\begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3 &3 &9 \\ 6 &15 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &9 &6 \\ 3 &3 &12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$

dari rujukan di atas sanggup dilihat bahwa, 3A +3B = 3(A+B)

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post