Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks

Suatu matriks A dikatakan ekuivalen dengan matriks B, bila B diperoleh dari A dengan menerapkan beberapa operasi yang disebut operasi dasar atau operasi elementer. Suatu matriks sanggup ekuivalen secara baris maupun kolom terhadap matriks yang lainnya. Jika ekuivalen secara baris, maka matriks itu diperoleh dengan operasi baris dasar, sedangkan bila ekuivalen secara kolom, maka matriks itu diperoleh dengan operasi kolom dasar.

Namun kali ini hanya akan dibicarakan operasi baris dasar terhadap matriks.
 
Jenis-jenis operasi baris dasar terhadap matriks antara lain:

1. Saling menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j, diberi notasi $E_{ij}$, dengan i # j
2. Menempatkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i, diberi notasi $E_{ij(k)}$ dengan i # j
3. Mengalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k # 0, diberi notasi $E_{i(k)}$

Secara umum, operasi baris dasar yang dilakukan berturut-turut mulai dari $E_{1}$, kemudian $E_{2}$, sampai $E_{p}$ terhadap matriks A untuk mendapat matriks B dinotasikan dengan :

$E_{p}E_{p-1}E_{p-2}...E_{2}E_{1}(\mathbf{A})=\mathbf{B}$

Contoh 1:

Misal diberikan suatu matriks A sebagai berikut:

$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$

Tentukan:
1. Jika $E_{12}(\mathbf{A})=\mathbf{A}_{1}$, tentukan $\mathbf{A}_{1}$

Jawab:

Caranya:
Pada soal ini, i=1 dan j=2. Apa bila kita perhatikan kembali jenis-jenis operasi baris dasar diatas, maka kita sanggup gunakan nomor 1. Dimana kita tinggal menukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2. Sehingga akan diperoleh sebagai berikut:

$\mathbf{A}_{1}=E_{12}(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$

2. Jika $E_{23(-1)}(\mathbf{A})=\mathbf{A}_{2}$, tentukan $\mathbf{A}_{2}$

Jawab:

Pada soal ini, i=2 ,  j=3 dan k = -1. Maka, bila kita perhatikan lagi jenis-jenis operasi baris dasar diatas mata kita sanggup gunakan nomor 2. Dimana kita tinggal mengalikan -1 dengan baris ke-3 kemudian ditambah baris ke-2. Kemudian hasinya ditempatkan pada baris ke-2.

Langkah 1:
$\begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 &1 &4 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -1 &-1 &-4 \end{pmatrix}$
Langkah 2:
$\begin{pmatrix} -1 &-1 &-4 \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} 2 &1 &2 \end{pmatrix}$  = $\begin{pmatrix} 1 &0 &-2 \end{pmatrix}$
Langkah 3:
Sehinga baris kedua dari matriks A tidak lagi $\begin{pmatrix} 2 &1 &2 \end{pmatrix}$  namun $\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \end{pmatrix}$ , ibarat berikut:

 $\mathbf{A}_{2}=E_{23(-1)}(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &0 &-2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$

3. Jika rangkaian operasi baris dasar yang dilakukan berturut-turut mulai dari $E_{12}$, kemudian $E_{13(2)}$, dan $E_{2(-1)}$ terhadap matriks A sehingga matriks $\mathbf{A}_{3}$, tentukan $\mathbf{A}_{3}$

Jawab:

Jika matriks A dikenakan serangkaian operasi baris dasar berturut-turut $E_{12}$,$E_{13(2)}$, dan $E_{2(-1)}$ sehingga menjadi matriks $\mathbf{A}_{3}$, maka matriks $\mathbf{A}_{3}$ ditulis sebagai berikut [seperti yang dijelaskan di atas]:

$\mathbf{A}_{3}=E_{2(-1)}E_{13(2)}E_{12}(\mathbf{A})$

langkah-langkah pengerjaannya di mulai dari arah kiri
Dapat ditulis juga sebagai berikut:

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$

 
Selanjutnya kita cari $E_{12}$  dari matriks A, sehingga akan diperoleh [caranya sama dengan nomor 1]:

$E_{12}=\begin{pmatrix} 2 &1 &2 \\ 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$

Selanjutnya dari hasil tersebut kita cari $E_{13(2)}$. Dengan cara ibarat yang telah dikerjakan pada teladan sebelumnya, maka akan diperoleh:

$E_{13(2)}=\begin{pmatrix} 4 &3 &10 \\ 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$

Selanjutnya dari hasil diatas kita lanjutkan untuk menghitung $E_{2(-1)}$.Untuk pengerjaan ini, kita hanya mengalikan baris ke-2 dengan -1. Seperti berikut:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1  \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$ kemuadian ganti baris ke-2 yang sebelumnya $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}$ dengan $\begin{pmatrix} -1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$ sehingga akan diperoleh $E_{2(-1)}$ sebagai berikut:

$E_{2(-1)}=\begin{pmatrix} 4 &3 &10 \\ -1 &-2 &-3 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}=\mathbf{A}_{3}$

Contoh 2:

Misalkan diberikan matriks A ibarat dibawah ini:
$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 &-3 \\ 2 &6 &-10 \\ 1 &-2 &9 \end{pmatrix}$
Lakukan operasi baris dasar sehingga diperoleh matriks segitiga atas dengan unsur diagonal utamanya 1.

Jawab:

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post