Cara Menuntaskan Integral Fungsi Mutlak

Salah satu bentuk permasalahan yang akan ditemui dalam integral ialah integral fungsi nilai mutlak. Pada halaman ini akan aku berikan bagaimana memilih integral fungsi mutlak tersebut. Untuk notasi yang dipakai sama saja dengan nilai mutlak dimana fungsi diapit oleh dua garis lurus menyerupai berikut. |f(x)|.

Defenisi Fungsi Mutlak

Sebelum lebih mendalam pada integral, sedikit akan aku ingatkan wacana pengertian atau defenisi fungsi nilai mutlak. Secara matematis, sebuah fungsi nilai mutlak sanggup ditulis defenisinya sebagai berikut,

$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $

Dalam penulisan lain, fungsi nilai mutlak sanggup ditulis juga,

$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan catatan anda dihentikan menyederhanakan menjadi f(x).

Mengenai syarat atau defenisi di atas, sanggup dilihat aplikasinya pada teladan di bawah ini,

Contoh 1. $ | 2x + 5| $

Positif ketika : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,

negatif ketika : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,

Sesuai defenisi fungsi mutlak maka, $ | 2x + 5 | \, $ sanggup ditulis:

$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $

Contoh 2. $ |x^2 - x - 6 | $

Positif  saat: $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,

sehingga syarat positifnya ialah $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $

negatif  saat: $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,

Sehingga sanggup ditulis $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlak,

$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $

Integral Fungsi Mutlak

Defenisi matematis fungsi mutlak sanggup dijelaskan sebagai berikut,

Asumsikan |f(x)|, ingin diintegralkan dalam batas $ a \leq b \leq c \, $ maka sanggup diselesaikan dalam bentuk:

$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $

Atau sanggup dihitung sebagai berikut,

$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $

Contoh Soal, Pembahasan Integral Fungsi Nilai Mutlak

Soal 1. $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $

Jawab:

$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau

$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $

Hasil Integral :

Batas Integral [0,2] $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang diintegralkan hanya potongan konkret saja : $ |2x + 5| = (2x + 5) $

$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\   & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $

Diperoleh Hasil simpulan $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.

Soal 2. $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
Jawab
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
Hasil Integral:
Sebab diminta pada interval -3 hingga 5, maka menurut bentuk nilai mutlak harus dibagi interval tersebut menjadi $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
$ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Silakan dilanjutkan menghitung 3 potongan tersebut secara integral biasa.

Soal 3. Hitunglah Nilai a, kalau $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a$ ?

Jawab:
Mutlak hanya berada pada $ |x| \, $ , maka diubah bentuk $ |x| \, $ sesuai definisi harga mutlak:
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
 $ |x| \, $ terdefenisi sebagai berikut,
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $

Maka keseluruhan fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ akan jadi,
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $

Hasil Integral
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Maka diperolehlah $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a= 19 $.
Sumber Soal: (http://freemathlearn.tk)

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post