Persamaan Garis Singgung Bulat Dari Titik Pada Bulat

Lingkaran yaitu kawasan kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar [sebidang]. Jarak yang sama disebut jari-jari bulat dan sebuah titik tertentu disebut sentra lingkaran. Perkenalan singkat ihwal lingkarannya mungkin sudah cukup, alasannya yang akan kita diskusikan disini yaitu persamaan garis singgung bulat dari titik yang terletak pada lingkaran.
Permasalahan ini juga yang ditanyakan salah satu pelajar Indonesia yang sedang mempelajari ihwal persamaan garis singgung bulat dari titik pada bulat di salah satu Forum Matematika.

Mari berdiskusi:

Diketahui titik sentra bulat $O (a,b)$ dan sebuah titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pada lingkaran
Tentukan Persamaan garis singgung g yang melalui titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$

Penyelesaian:
Misal persamaan garis adalah
$ g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan bulat adalah
$ L:\ \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
OP yaitu jari-jari (r), dan garis OP melalui O (a,b) dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya sanggup kita bentuk sebagai berikut:
$ \frac{(y-y_1)}{(y_2-y_1 )}=\frac{(x-x_1)}{(x_2-x_1 )}$
$ \frac{(y-y_1)}{(b-y_1 )}=\frac{(x-x_1)}{(a-x_1 )}$
$(y-y_1 )(a-x_1 )=(x-x_1 )(b-y_1 )$
$ ay-x_1 y-ay_1+x_1 y_1=bx-x y_1-bx_1+x_1 y_1$
$ (a-x_1 )y=(b-y_1 )x-bx_1+x_1 y_1+ay_1-x_1 y_1$
Gradient OP, $ m_{OP}=\frac{(b-y_1)}{(a-x_1 )} $
Garis OP dan garis g saling tegak lurus sehingga:
$ m_{OP}\times m_{g}=-1 $
$ \frac{(b-y_1)}{(a-x_1 )}\times m_{g}=-1 $
$ m_{g}=\frac{x_1-a}{b-y_1}$
Persamaan garis g adalah
$ y-y_1 = m_g (x-x_1)$
$ y-y_1=\frac{x_1-a}{b-y_1} (x-x_1)$
$ (y-y_1 )(b-y_1 )=(x_1-a )(x-x_1 )$
$ by-yy_1-by_1+y_1^2=xx_1-x_1^2-ax+ax_1$
$ by-yy_1-by_1+y_1^2-xx_1+x_1^2+ax-ax_1=0$
$ x_1^2-xx_1+ax-ax_1+y_1^2-yy_1+by-by_1=0$
$ x_1^2-ax_1+y_1^2-by_1=xx_1-ax+yy_1-by . . .(1)$

Titik $ P (x_1,y_1 )$ pada bulat sehingga diperoleh persamaan:
$ (x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$
$ x_1^2-2ax_1+a^2+y_1^2-2by_1+b^2=r^2$
$ x_1^2-ax_1-ax_1+a^2+y_1^2-by_1-by_1+b^2=r^2$
$ x_1^2-ax_1+y_1^2-by_1=r^2-b^2-a^2+ax_1+by_1 . . .(2)$

Dari persamaan (1)dan (2) diperoleh:
$ xx_1-ax+yy_1-by=r^2-b^2-a^2+ax_1+by_1$
$ xx_1-ax+yy_1-by+b^2+a^2-ax_1-by_1=r^2$
$ xx_1-ax_1-ax+a^2+yy_1-by-by_1+b^2=r^2$
$ (x-a) x_1+(a-x)a+(y-b)y_1+(b-y)b=r^2$
$ (x-a) x_1-(x-a)a+(y-b) y_1-(y-b)b=r^2$
$ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Kesimpulan:
Persamaan garis singgung bulat $ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 ) $ pada bulat yaitu :
$ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2 $

Jika Pusat bulat (0,0) maka kita substitusi nilai a=0 dan b=0 maka persamaan garis singgung bulat $ x^2+y^2=r^2 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 ) $ pada bulat yaitu :
$(x)(x_1 )+(y)(y_1 )=r^2$

Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $
kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,\ dan\ r^2$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2 $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$(x+\frac{1}{2} A)(x_1+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_1+\frac{1}{2} B)=\frac{1}{4} A^2+\frac{1}{4} B^2-C $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{4} A^2+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+\frac{1}{4} B^2=\frac{1}{4} A^2+\frac{1}{4} B^2-C $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{4} A^2+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1$$+\frac{1}{4} B^2-\frac{1}{4} A^2-\frac{1}{4} B^2+C=0 $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+C=0 $

Persamaan garis singgung bulat $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 )$ pada bulat yaitu :
$ xx_1+ yy_1+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+C=0 $

Dikoreksi kalau ada yang salah dan untuk mend0wnl0ad file Download Persamaan Garis Singgung Lingkaran😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Mari kita coba mencar ilmu geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;

Sumber http://www.defantri.com

Share this post