Contoh Soal Dan Pembahasan Persamaan Trigonometri

Sebelum memahami bagaimana penyelesaian soal soal persamaan trigonometri di bawah ini, alangkah baik sekiranya anda telah membaca ihwal cara penyelesaian persamaan trigonometri.

Soal 1. Tentukan nilai x yang memenuhi sin 2x - 1/2 =0 pada interval 0 ≤ x  ≤ 360^o !
Pembahasan:
sin 2x -1/2 =0
sin 2x=1/2
sin 2x = sin 30^o

Penyelesaian:
- f(x)= θ +360^ok- f(x)= 180^o- θ +360^ok

f(x) = 2x  ; θ =30^o
-f(x)= θ +360^ok
 2x=30^o + 360^ok
k=0
  2x=30^o + 360^o.0
    x= 15^o
k=1
  2x=30^o + 360^o.1
    x= 195^o
k=2
  2x=30^o + 360^o.2
    x= 375^o
Tidak dipakai lagi alasannya ialah sudah diluar interval.

- f(x)= 180^o- θ +360^ok
   2x= 180^o- 30^o +360^ok
  2x= 150^o +360^ok
k=0
 2x= 150^o +360^o.0
 x= 75^o
k=1
 2x= 150^o +360^o.1
 x= 255^o
k=2
 2x= 150^o +360^o.2
 x= 435^o
Tidak dipakai alasannya ialah diluar interval.
Kaprikornus nilai x yang memenuhi: {15^o , 195^o , 75^o , 255^o}
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut untuk interval

Soal 2. Nilai x yang memenuhi $ \cos x  - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $ dalam interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $

Pembahasan:
$ \cos x  - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \rightarrow \cos x = \cos 30^\circ $

Penyelesaian:
 -f(x)= θ +360^ok- f(x)= - θ +360^ok

f(x) = x  ; θ =30^o
- f(x)= θ +360^ok
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 30^\circ  - 360^\circ \\ & = -330^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 0 \\ & = 30^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 360^\circ \\ & = 390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 30^\circ \} $

-f(x)= - θ +360^ok 
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x & = -30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = -30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = -30^\circ  - 360^\circ \\ & = -390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = -30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 0 \\ & = -30^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = -30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 360^\circ \\ & = 330^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 330^\circ \} $
Kaprikornus $ x \, $ ialah $ \{ 30^\circ , \, 330^\circ \} $

Soal 3. Nilai x yang memenuhi $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $ dalam interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $

Pembahasan:
$ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan 3x =  - \sqrt{3} \rightarrow \tan 3x = \tan 120^\circ $
 f(x) = 3x  ; θ =120^o
-f(x)= θ +180^ok
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 180^\circ \\ 3x & = 120^\circ + k \times 180^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 40^\circ + k \times 60^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 40^\circ + (-1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ  - 60^\circ \\ & = -20^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 40^\circ + 0 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 0 \\ & = 40^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 40^\circ + (1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 60^\circ \\ & = 100^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 40^\circ + 2 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 120^\circ \\ & = 160^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 3 \rightarrow x & = 40^\circ + 3 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 180^\circ \\ & = 220^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 4 \rightarrow x & = 40^\circ + 4 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 240^\circ \\ & = 280^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 5 \rightarrow x & = 40^\circ + 5 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 300^\circ \\ & = 340^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 6 \rightarrow x & = 40^\circ + 6 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 360^\circ \\ & = 400^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ ialah $ \{ 40^\circ , 100^\circ , 160^\circ , 220^\circ , 280^\circ , 340^\circ \} $

Soal 4. Tentukan Semua nilai x untuk $ x \, $ interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ yang memenuhi $ 2\cos ^2 x = 3\sin x + 3 $ ?
Pembahasan:
Kita akan ubah jadi satu jenis trigonometri saja, perhatikan.
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1  - \sin ^2 x $
Terbentuk menyerupai persamaan kuadrat dan kita akan faktorkan.
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2( 1  - \sin ^2 x ) & = 3\sin x + 3 \\ 2  - 2 \sin ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x =  - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
Masing masingnya sanggup anda selesaikan sesuai dengan langkah soal no 1. Sehingga di sanggup nantinya nilai $ x \, $  yang memenuhi persamaan $ \{ \frac{7\pi}{6} , \, \frac{7\pi}{6} , \, \frac{11\pi}{6} \} $.
Tips:
Jika soal berbentuk Pilihan Ganda, sebaiknya anda lakukan dengan menguji masing masing pilihan ke persamaan.
Pada soal nomor 4, didapat nilai sin x= -1 dan sin x=-1/2. Jika anda sanggup tahu sin berapa saja yang -1 dan -1/2 akan lebih baik. Misalnya sin x=-1. Kita tahu sesungguhnya yang -1 ialah $ sin \frac {7 \pi}{6}$. Dan sin yang -1/2 ialah $ \frac {7 \pi}{6} \, , \frac {11 \pi}{6}$
Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post