Kapan Sebuah Fungsi F(X) Tidak Mempunyai Turunan?

Berdasarkan defenisi turunan fungsi dengan pendekatan limit yang kita kenal, maka sebuah fungsi f(x) tak mempunyai turuna kalau $$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \\ \text {tidak ada nilai limit} $$

Jadi, dapat saja sebuah fungsi tidak mempunyai turunan. Karena tidak mempunyai nilai limit. Lalu, bagaimana fungsi yang tidak mempunyai nilai limit?

Maksud dari fungsi yang tidak mempunyai nilai limit adalah, dimana fungsi tersebut mempunyai nilai limit kiri yang tak sama dengan nilai limit kanan. Sebagai contoh, fungsi yang tidak mempunyai nilai limit atau fungsi yang tidak mempunyai turunan yaitu f(x)=|x| di x=0.

Untuk membuktikannya perhatikan pembuktian fungsi yang tidak mempunyai turunan di bawah ini.

Defenisi Turunan menurut limit, $$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \\ f^\prime (0) = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f( x ) - f(0)}{x-0} \\ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| - |0|}{x} \\ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} $$
Sementara itu arti dari fungsi mutlak (modulus) secara matematis dapat ditulis,
$$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. \\ \\ \text{Artinya berlaku :} \\ x \geq 0 \rightarrow |x| \ nilainya \ x \\ x < 0 \rightarrow |x| \ nilainya \ -x $$
Sekarang kita akan periksa limit kiri dan limit kanannya.
-Nilai Limit Kiri x < 0
berlaku |x| = - x
$$ \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x} = \lim_{ x \to 0^- } \frac{-x }{x} \\ \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x}= \lim_{ x \to 0 } -1 \\ \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x}= -1 $$
-Nilai Limit Kanan x>0
berlaku |x| = x
$$ \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \lim_{ x \to 0^+ } \frac{x }{x} \\ \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \lim_{ x \to 0 } 1 \\ \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = 1 $$

Karena nilai limit kanan (1) tidak sama dengan limit kiri (-1) maka fungsi ini tidak mempunyai turunan di x=0.

Jika dikaitkan dengan bahan fungsi, maka terang bahu-membahu sebuah fungsi kontinu mempunyai nilai limit (artinya nilai limit kanan dan limit kiri-nya sama). Oleh alasannya yaitu itu, sebuah fungsi kontinu akan mempunyai nilai turunan di x=a. Lalu apa hubungannya ke – kontinu –an fungsi dengan turunan?

Sederhana sekali, kalau fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di x=a, maka kita dapat menyimpulkan bahu-membahu fungsi tersebut tidak kontinu. Baca juga: Pembuktian dan Penurunan Rumus Turunan

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post