Bagaimana Cara Memilih Waktu Kematian?

Di media-media massa menyerupai televisi, radio, koran, kita sering kali mendengar info pihak kepolisian mengeluarkan sebuah pernyataan "Mr. X diperkirakan meninggal sekitar 2 jam yang lalu, yaitu pada pukul sekian". Tentu yang menjadi pertanyaan ialah bagaimana pihak kepolisian sanggup mengambil sebuah kesimpulan bahwa Mr.X meninggal pada pukul sekian sedangkan pada kenyataannya mereka sendiri tidak berada di tempat kejadian. Apakah hanya sebatas asumsi saja?

Teman-teman juga mungkin pernah menonton film-film detektif, baik film berjenis kartun maupun film yang diangkat dari kisah-kisah kasatmata menyerupai CSI Files dan Forensic Files. Kalau teman-teman perhatikan, kasus yang paling sering ditampilkan dalam film maupun cerita kasatmata ialah kasus inovasi jenazah. Dalam film-film tersebut seorang detektif dan hebat forensik sanggup memilih kapan mayat tersebut meninggal dunia. Penentuan asumsi kapan korban meninggal dunia sangat penting dalam memilih siapa pembunuh korban. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara detektif dan hebat forensik memilih waktu kematian korban dengan matematika (kalkulus).

Kalkulus merupakan salah satu cabang matematika yang mempunyai peranan yang sangat penting dalam memecahkan banyak sekali permasalahan yang dihadapi oleh umat manusia. Dengan sumbangan kalkulus banyak permasalahan-permasalahan besar yang berhasil dipecahkan. Bagaimana...berminat jadi hebat matematika...???

Sir Isac Newton yang hidup pada rentang waktu 1643-1727 merupakan salah satu ilmuwan matematika dan fisika yang sangat fenomenal. Ia berhasil menemukan aturan pendinginan yang dikenal dengan Hukum Pendinginan Newton yang diterbitkan secara anonim dengan judul "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa" pada tahun 170.

Manusia merupakan makhluk berdarah panas. Artinya, suhu badan insan tidak banyak dipengaruhi suhu lingkungan. Suhu badan insan normal ialah 37,5 ^oC. Pada ketika seseorang meninggal, suhu tubuhnya tidak akan 37,5 ^oC, tetapi turun secara perlahan sehingga dalam jangka waktu tertentu suhunya akan sama dengan suhu lingkungan. Dalam hal ini, suhu lingkungan dianggap lebih rendah dari suhu badan insan normal. Pada umumnya, suhu lingkungan ialah 27 ^oC.

Proses penurunan suhu pada badan insan ketika mengalami kematian ternyata mengikuti aturan pendinginan Newton. Hukum ini menyampaikan bahwa penurunan suhu suatu benda yang mempunyai suhu lebih tinggi dari lingkungannya berbanding lurus dengan selisih suhu benda tersebut dengan lingkungannya.  Secara matematis, aturan pendinginan Newton dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut.

$\begin{align*} \mathrm{Jika}\;T(t)\;\mathrm{menyatakan}\;\mathrm{fungsi\;suhu}\;\mathrm{benda\;pada\;waktu\;t\;maka}:\\ \end{align*}$  

$\begin{align*} \frac{dT}{dt}=k(T-Te) \end{align*}$  

Pada persamaan tersebut, $\frac{dT}{dt}$ ialah perubahan suhu terhadap waktu, $k$ ialah suatu konstanta dengan satuan 1/waktu, $T$ adalah suhu benda sebagai fungsi waku dan $Te$ ialah suhu lingkungan. Nilai dari $k$ tidak diketahui, namun sanggup kita peroleh dari penurunan persamaan di atas. Nilai $k$ sanggup diganti menjadi $k$ jikalau suhu mengalami kenaikan, dan diganti menjadi $-k$ jikalau suhu mengalami penurunan. Sekarang kita selesaikan persamaan pada Hukum Pendinginan Newton jikalau suhu mengalami penurunan. Perhatikan bahwa:

$\begin{align*} \frac{dT}{dt}&=-k(T-Te)\\ \frac{dT}{T-Te}&=-kdt\$\end{align*}$

Dengan mengintegralkan kedua ruas pada bentuk terakhir, maka diperoleh persamaan berikut.

$\begin{align*}\int \frac{dT}{T-Te}&=\int-kdt\\ ln\left | T-Te \right |&=-kt+C\\ T-Te&=Ce^{-kt}\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(1) \end{align*}$ 

Substitusi $t=0$ dan $T=T_{0}$ ke persamaan (1), maka diperoleh:

$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T_{0}-Te&=Ce^{0}\\ C&=T_{0}-Te\\ \end{align*}$

Kemudian $C=T_{0}-Te$  kita substitusi kembali ke persamaan (1) akan diperoleh solusi dari Hukum Pendinginan Newton sebagai berikut:

$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T-Te&=(T_{0}-Te)c^{-kt}\\ T&=(T_{0}-Te)c^{-kt}+Te\;\;\;\;\;\;\;\;.....(2) \end{align*}$

 dengan $T_{0}$ ialah suhu awal benda.

Agar waktu kematian $t_{m}$ sanggup diperkirakan, maka persamaan untuk nilai $k$ harus ditentukan terlebih dahulu. Misalkan $T_{1}$ menyatakan suhu badan mayat pada waktu $t_{1}$. Denga mensubstitusi $T=T_{1}$ dan $t=t_{1}$ ke persamaan (2) diperoleh persamaan berikut.

$\begin{align*} T_{1}&=(T_{0}-T_{2})e^{-kt_{1}}+T_{e}\\ e^{-kt_{1}}&=\frac{T_{1}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}}\\ k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\;\;\;\;\;\;\;.....(3) \end{align*}$

Jika kita substitusi $t_{1}=t_{m}$ dan $T_{1}=T_{m}$ dimana $T_{m}$ ialah suhu mayat ketika gres saja meninggal, maka diperoleh sebuah persamaan untuk memilih waktu kematian seseorang, yaitu sebagai berikut.

$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right ) \;\;\;\;\;\;(4)\end{align*}$

Contoh Kasus

Telah terjadi perampokan dan pembunuhan yang menewaskan satu orang korban pria di kawasan Banjaran, Kabupaten Bandung. Suhu ruangan tempat tragedi ketika itu berkisar $20^{circ}$. Suhu pada badan korban ketika ditemukan ialah $29^{circ}$, kemudian sehabis 1 jam, suhu tubuhnya diukur kembali dan telah bermetamorfosis $24^{circ}$C. Mayat ditemukan pada hari ahad pukul 07.00 pagi. Kapan pembunuhan tersebut dilakukan?

Mengungkapkan kasus ini tentu saja kita bekerja layaknya seorang detektif. Kita kumpulkan terlebih dahulu data-data yang ada.
 $\begin{align*} T_{0}&=29^{\circ}\\ T_{e}&=20^{\circ}\\ T_{1}&=24^{\circ}\\ T_{m}&=37^{\circ}\\t_{1}&=1\\ \end{align*}$
Nilai $k$ ditentukan dengan persamaan (3) di atas.

$\begin{align*} k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-frac{1}{1}ln\left ( \frac{24-20}{29-20} \right )\\ &=-ln(\frac{4}{9})\\ &\approx 0,811 \end{align*}$

Sehingga waktu kematian diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (4).

$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{37-20}{29-20} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{17}{9} \right )\\ &\approx -0,784\;\;\mathrm{jam} \end{align*}$

Artinya mayat tersebut ditemukan sekitar 0,784 jam, atau setara dengan 47 menit sehabis meninggal. Dengan demikian waktu meninggal korban diperkirakan pukul 06.13 pagi. Pembunuh belum jauh dari lokasi kejadian, dan masih sanggup secepat mungkin ditangka.

Dengan memanfaatkan Hukum Pendinginan Newton ini, maka tidak heran banyak pelaku-pelaku pembunuhan sanggup segera ditangkap. Semoga ilmu ini sanggup membuka cakrawala berpikir kita, membuka mata hati hati kita bahwa matematika itu menarik, dan menyenangkan. Source - Belajar Kalkulus - Majalah 1000 guru

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post