Belajar Induksi Matematika Pada Kurikulum 2013

Induksi Matematika menjadi viral lagi di dunia matematika sehabis sempat hilang dari peredaran. Sebenarnya bukan hilang sich "tetapi dihilangkan" oleh para guru atau para penerbit. Karena Induksi Matematika pada beberapa buku matematika KTSP masih ada tetapi bahan dianggap pada tahap pengayaan.

Materi pada tahap pengayaan dengan Bahasa Indonesia sehari-hari artinya sanggup diajarkan atau sanggup tidak diajarkan atau diajarkan pada siswa yang lebih menyenangi matematika.

Pada kurikulum 2013 induksi matematika dimunculkan kembali, menurut Permendikbud Tahun 2016 Nomor 024 Lampiran 16 yang mengatur perihal Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Matematika Sekolah Menengan Atas disampaikan kompetensi dasar siswa salah satunya "Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika"

kompetensi Menjelaskan metode pembuktian Pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika diperlukan tercapai pada kelas XI mata pelajaran matematika wajib.

Untuk mengingatkan kembali mari kita coba coret-coret lagi, dongeng usang perihal induksi matematika.

Pada buku Matematika SMU Kelas I untuk KBK dan Sistem Semester karangan Bapak Dr.Oki Neswan dan Bapak Dr.Wono Setya Budhi disampaikan bahwa teknik induksi matematika sangat sederhana.

Basis Induksi

Buktikan $P\left ( 1 \right )$ benar.

Langkah Induksi

Buktikan untuk tiap $k$ bilangan orisinil $P\left ( k \right ) \rightarrow P\left ( k+1 \right )$.

Mengapa kedua langkah di atas cukup untuk mengambarkan tak berhingga buah pernyataan $P\left ( n \right )$?. Secara intuitif hal ini sanggup dijelaskan sebagai berikut:

Karena $P\left ( 1 \right )$ berlaku pada basis induksi dan $P\left ( 1 \right ) \rightarrow P\left ( 2 \right )$ juga berlaku pada langkah induksi, maka dengan Modus Ponens kita peroleh $P\left ( 2 \right )$ berlaku.
Tapi kita juga tahu bahwa $P\left ( 2 \right ) \rightarrow P\left ( 3 \right )$ benar, sehingga kembali dengan Modus Ponens, $P\left ( 3 \right)$ berlaku atau benar dan seterusnya.

Berapapun nilai $n$, kita sanggup membuktikannya dengan meneruskan proses ini hingga kita mencapai $P\left ( n \right )$ berlaku.

Jadi, kita telah mengambarkan $P\left ( n \right )$ untuk tiap $n$ anggota bilangan asli, dengan induksi matematika.

Contoh:
Dengan Induksi Matematika Buktikan Bahwa $1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )$

Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right ):$$1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1=\frac{1}{2}\left ( 1 \right )\left ( 1+1 \right )$
$P\left ( 1 \right )$:$1=1$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$1+2=\frac{1}{2}\left ( 2 \right )\left ( 1+2 \right )$
$P\left ( 2 \right )$:$3=3$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$1+2+3+\cdots +k$=$\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right )$

Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
$1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )$
$1+2+3+\cdots +k+\left (k+1 \right )$=$\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1+1 \right )$
$1+2+3+\cdots +k+\left (k+1 \right )$=$\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$

Dengan memanfaatkan keberlakuan sebelumnya ketika $n=k$, kita peroleh persamaan;
$1+2+3+\cdots +k+\left ( k+1 \right )$
=$1+2+3+\cdots +k$$+\left ( k+1 \right )$
=$\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right )$$+\left ( k+1 \right )$
=$\left( k+1 \right )\left [\frac{1}{2}k+1\right ]$
=$\left( k+1 \right )\frac{1}{2} \left (k+2\right )$
=$\frac{1}{2} \left( k+1 \right ) \left (k+2\right )$
hingga pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )$ yaitu benar (terbukti)

Soal latihan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan dengan induksi matematika:

Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}$=$\frac{1}{6}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right)$

Alternatif Pembahasan: show

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}$=$\frac{1}{6}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right)$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1^{2}=\frac{1}{6}\left ( 1 \right )\left ( 1+1 \right )\left (2+1 \right)$
$P\left ( 1 \right )$:$1=1$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$1^{2}+2^{2}$=$\frac{1}{6}\left ( 2 \right )\left ( 2+1 \right )\left (4+1 \right)$
$P\left ( 2 \right )$:$5=5$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +k^{2}$=$\frac{1}{6}k\left ( k+1 \right )\left (2k+1 \right)$

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}$=$\frac{1}{6}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right)$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +k^{2}+\left ( k+1 \right )^{2}$=$\frac{1}{6}\left ( k+1 \right )\left ( k+1+1 \right )\left (2\left [ k+1 \right ]+1 \right)$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +k^{2}+\left ( k+1 \right )^{2}$=$\frac{1}{6}\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left (2k+3 \right)$

Dengan memanfaatkan keberlakuan sebelumnya ketika $n=k$, kita peroleh persamaan;
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +k^{2}+\left ( k+1 \right )^{2}$
=$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +k^{2}$$+\left ( k+1 \right )^{2}$
=$\frac{1}{6}\left ( k \right )\left ( k+1 \right )\left (2k+1 \right)$$+\left ( k+1 \right )^{2}$
=$\left ( k+1 \right )\left [\frac{1}{6}\left ( k\right ) \left (2k+1 \right)+\left ( k+1 \right )\right ]$
=$\left ( k+1 \right )\frac{1}{6}\left [\left ( k\right ) \left (2k+1 \right)+6\left ( k+1 \right )\right ]$
=$\frac{1}{6} \left ( k+1 \right )\left [\left (2k^2+k \right)+\left ( 6k+6 \right )\right ]$
=$\frac{1}{6} \left ( k+1 \right )\left [2k^2+k+6k+6\right ]$
=$\frac{1}{6} \left ( k+1 \right )\left (2k^2+7k+6\right )$
=$\frac{1}{6}\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left (2k+3 \right)$
hingga pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}$=$\frac{1}{6}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right)$ yaitu benar (terbukti)

Soal latihan metode pembuktian pernyataan matematis berupa keterbagiaan dengan induksi matematika:

Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$n^{3}-n$ selalu Habis Dibagi (HD) oleh $6$ untuk setiap $n$ bilangan asli

Alternatif Pembahasan: show

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$n^{3}-n$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1^{3}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$0$ HD $6$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}-2$
$P\left ( 2 \right )$:$6$ HD $6$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$k^{3}-k$ HD $6$ atau dengan kata lain bahwa $k^{3}-k$ sebuah bilangan kelipatan $6$

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar,
untuk $n=k+1$ maka $n^{3}-n$
=$\left ( k+1 \right )^{3}-\left ( k+1 \right )$
=$\left ( k+1 \right ) \left[ \left ( k+1 \right )^{2}-1 \right]$
=$\left ( k+1 \right ) \left[ k^{2}+2k\right]$
=$\left ( k+1 \right ) \left ( k \right )\left ( k+2 \right )$
=$\left ( k \right ) \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$
untuk $k$ bilangan orisinil maka $\left ( k \right )$, $\left ( k+1 \right )$, dan $\left ( k+2 \right )$ yaitu tiga bilangan orisinil berurutan.

Karena perkalian tiga bilangan orisinil berurutan selalu habis dibagi $6$ maka $\left ( k \right ) \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$ HD $6$. Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar, maka $n^{3}-n$ selalu Habis Dibagi oleh $6$ untuk setiap $n$ bilangan asli.

Soal latihan metode pembuktian pernyataan matematis berupa ketidaksamaan dengan induksi matematika:

Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{n}$

Alternatif Pembahasan: show

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$\frac{1}{1^{2}}\leq 2-\frac{1}{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$1 \leq 1$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}\leq 2-\frac{1}{2}$
$P\left ( 2 \right )$:$1\frac{1}{4} \leq 1\frac{1}{2}$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{k}$

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, atau
untuk $n=k+1$ ketidaksamaan $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{\left ( k+1 \right )}$ yaitu benar.

Eksplorasi:
$k\left (k+1 \right )\leq \left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )$
$\frac{1}{k\left (k+1 \right )}\geq \frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )}$
$\frac{1}{k\left (k+1 \right )} = \frac{1}{k}-\frac{1}{\left ( k+1 \right )}$

Pada ketidaksamaan $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+$$\leq 2-\frac{1}{k}$ ruas kiri dan ruas kanan sama-sama kita tambahkan $\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$.

Sehingga ketidaksamaan menjadi
$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+$$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{k}$+$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$

Dengan memakai ketidaksamaan $\frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )}\leq \frac{1}{k\left (k+1 \right )}$ yang kita temukan pada tahap eksplorasi, ada ketidaksamaan gres yang sanggup kita terapkan yaitu;
$\frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )}\leq \frac{1}{k\left (k+1 \right )}$
$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )}\leq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k\left (k+1 \right )}$
$2-\frac{1}{k}$+$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{\left ( k+1 \right )}$
$2-\frac{1}{k}$+$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{\left ( k+1 \right )}$

$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+$$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{k}$+$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$
$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+$$\frac{1}{\left ( k+1 \right )^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{\left ( k+1 \right )}$

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ $P\left ( n \right )$ benar, maka $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{n}$ benar.

Apabila ada masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan bahagia hati segera menanggapinya😊😊.

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mengerjakan pembagian pecahan super keren;

Sumber http://www.defantri.com

Share this post