Rangkuman Dan Teladan Soal - Teknik Pengintegralan: Substitusi Yang Merasionalkan Dan Substitusi Trigonometri

Agar kita sanggup mengerti pembahasan kali ini, Gengs diharuskan paham ihwal "Konsep Integral dan Teknik Pengintegralan Fungsi trigonometri".
Bagi Gengs yang belum paham, Gengs sanggup membuka link di bawah ini:Rangkuman dan Contoh Soal - Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]

Langsung saja ya Gengs kita masuk dalam materinya.

Metode Subsitusi

Apa itu metode substitusi dalam teknik pengintegralan ??? Berikut ini merupakan maksud dari substitusi dalam teknik pengintegralan.

Integral dalam bentuk
$\int f(g(x))g'(x)dx$
sanggup dituliskan sebagai berikut.
$\int f(u)du$
dengan substitusi u = g(x) dan du = g'(x) dx. Jika F yaitu anti-turunan f, maka
$\int f(g(x))g'(x)dx$
$=\int f(u)du$
$=F(u)+C$
$=F(g(x))+C$

Keberhasilan metode ini sangat tergantung dari pemisalan yang sempurna dari bab integran sebagai u sehingga rumus-rumus dasar pengintegralan sanggup digunakan. Bagi integral berbatas atau integral tentu, metode substitusi sanggup dalam bentuk pribadi mengubah batas integralnya ibarat berikut ini:
$\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx=\int_{u=g(a)}^{u=g(b)}f(u)du$

CONTOH 1
Tentukan integral berikut ini:
$\int x^2 \sqrt{10-x^3}dx$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
$u=10-x^3$, maka
$du=-3x^2 dx$
Sehingga akan menjadi
$=\frac{1}{3}\int\sqrt{u}du$
$=\frac{1}{3}\int u^\frac{1}{2}du$
$=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}.u^\frac{3}{2}+C$
$=\frac{2}{9}(10-x^3)\sqrt{10-x^3}$
$=-\frac{20}{9}\sqrt{10-x^3}+2x^3\sqrt{10-x^3}$

CONTOH 2
Tentukan integral berikut ini:
$\int_{e}^{e^2}\begin{pmatrix} \frac{1}{x \ln x} \end{pmatrix}dx$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
x = ln x, maka du = 1/x dx
Jangan lupa juga, alasannya yaitu soal diatas merupakan intergral tentu maka  nilai batasannya kita ubah. Sehingga diperoleh ibarat berikut ini:
x = e maka u = ln e = 1
$x=e^2$ maka $u=\ln e^2 = 2$
Sehingg integralnya akan menjadi ibarat di bawah ini.
$=\int_{1}^{2}\frac{du}{u}$
$=\ln |u|]^2_{1}$
$=\ln |2| -\ln |1|$
$=\ln |2|$

Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk $\sqrt[n]{ax+b}$  disebut ketakrasionalan linear, alasannya yaitu (ax + b) berbentuk linear dalam peubah x, tetapi bentuk linear itu berada di bawah tanda akar. Jika bentuk ketakrasionalan linear semacam ini menjadi integran dari suatu integral, maka substitusi akan menghilangkan tanda akarnya.

$u^n=ax+b$

Apabila integran mengandung beberapa pangkat bagian dari peubah x, substitusi $u^n=x$ seringkali sangat efektif. Dalam hal ini n yaitu kelipatan komplotan terkecil penyebut dari pangkat.

CONTOH 3
Tentukan integral berikut ini.
$\int x\sqrt[5]{x-7}dx$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3 ini sama ibarat contoh-contoh sebelumnya. Kita tentukan dahulu nilai u dan du-nya. Seperti berikut ini:
$u=\sqrt[5]{x-7}$
$u^5=x-7\rightarrow 5u^4du=dx$
$x=u^5+7$
Sehingga
$=\int (u^5+7)(u)(5u^4)du$
$=\int (u^5+7)5u^5du$
$=\int (5u^10+35u^5)du$
$=\frac{5}{1}u^11+\frac{35}{6}u^6+C$
$=\frac{5}{1}((x-7)^1/5)^11+\frac{35}{6}((x-7)^1/5)^6+C$
$=\frac{5}{1}((x-7)^11/5+\frac{35}{6}(x-7)^6/5+C$

CONTOH 4
Tentukan integral berikut.
$\int x\sqrt[3]{(x+2)^2}dx$
Jawab:
Misalkan:
$u=\sqrt[3]{(x+2)^2}=(x+2)^2/3$
$u^2/3=x+2\rightarrow x=u^2/3-2$
$\frac{3}{2}u^1/2 du=dx$
Sehingga
$=\int (u^3/2-2)u\frac{3}{2}u^1/2du$
$=\int (u^3/2-2)\frac{3}{2}u^3/2du$
$=\int (\frac{3}{2}u^3-3u^3/2)du$
$=\frac{3}{2}\frac{1}{4}u^4-\frac{3}{5/2}u^5/2+C$
$=\frac{3}{2}\frac{1}{4}((x+2)^2/3)^4-\frac{3}{5/2}((x+2)^2/3)^5/2+C$
$=\frac{3}{8}(x+2)^8/3-\frac{6}{5}(x+2)^5/3+C$

CONTOH 5
Tentukan integral berikut ini
$\int \frac{3^2x}{3^x+2}dx$
Jawab:
$=\int3^x \begin{pmatrix} \frac{3^x}{3^x+2} \end{pmatrix}dx$

Untuk menjawab soal ini, sama ibarat pola sebelumnya yaitu kita tentukan dahulu u-nya.
Misalkan:
$u=3^x+2$, maka
$du=3^x\ln 3 dx$
Sehingga
$=\int \frac{u-2}{u}\frac{1}{\ln 3}du$
$=\frac{1}{\ ln3}\int \frac{u-2}{u}du$
$=\frac{1}{\ ln3}\begin{bmatrix} \int du-2\int \frac{du}{u} \end{bmatrix}$
$=\frac{u}{\ln3}-\frac{2\ln u}{\ln3}+C$
$=\frac{3^x+2}{\ln3}-\frac{2\ln 3^x+2}{\ln3}+C$

Substitusi Trigonometri

Yang perlu kita ketahui, substitusi trigonometri akan berlaku apabila integran mengandung ekspansi-ekspansi ibarat berikut ini:
1. $\sqrt{a^2-u^2}$
2. $\sqrt{a^2+u^2}$, atau
3. $\sqrt{u^2+a^2}$
dengan a merupakan konstanta bilangan positif dan u merupakan variabel.
Sehingga lakukan pemisalan sebagai berikut ini.
Untuk perluasan nomor 1
Misalkan, $u=a\sin \theta$
Untuk perluasan nomor 2
Misalkan, $u=a\tan \theta$, dan
Untuk perluasan nomor 3
Misalkan, $u=a\sec \theta$

CONTOH 6
Tentukan integral berikut ini:
$\int \frac{2e^x}{\sqrt{1-e^2x}}$
Jawab:
Untuk mengerjakan soal ibarat ini kita mengacu lagi pada catatan di atas. Pertama-tama kita tentukan dahulu nilai a dan u-nya.
Dari soal di atas sanggup kita peroleh bahwa:
$a=1,u=e^x$
Maka, nilai u-nya yaitu:
$u=1\sin \theta$
$e^x=\sin \theta \rightarrow e^xdx=\cos \theta d\theta$
Sehingga,
$=2\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^2x}}dx$
$=2\int \frac{\cos \theta d\theta }{\sqrt{1-\sin^2 \theta }}$
$=2\int \frac{\cos \theta d\theta }{\sqrt{\cos^2 \theta }}$
$=2\int d\theta$
$=2\theta$
$=2\arcsin e^x$

CONTOH 7
Tentukan integral berikut ini:
$\int \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$
Jawab:
Sebelum mengerjakan lebih lajut, pertama-tama tentukan dahulu: a=1,u=2x, maka
$u=1\tan \theta$
$2x=1\tan\theta$
$2dx=\sec^2\theta d\theta$
Sehingga
$=\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{2\sqrt{1+4.\frac{1}{4}.\tan^2 \theta .2}}$
$=\frac{1}{4}\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$
$=\frac{1}{4}\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{\sqrt{\sec^2 \theta}}$
$=\frac{1}{4}\int \tan \theta \sec \theta d\theta$
$=\frac{1}{4} \sec \theta +C$
$=\frac{1}{4} \sqrt{1+4x^2}+C$

Sampai disini dulu ya Gengs. Semoga bermanfaat.

Terima kasih.


Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post