Limit Dan Kekontinuan (Kalkulus)

Limit Fungsi

Limit Fungsi di Suatu Titik

Menggambarkan sikap fungsi kalau peubahnya mendekati suatu titik.

Ilustrasi:

Dari tabel dan grafik: nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 1, tetapi x # 1

Notasi:$\lim_{x \to1 }f(x)=3$

Definisi [Limit fungsi di suatu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan L, ditulis

$\lim_{x \to a }f(x)=L$

Apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a, tetapi x # a.

Kasus-kasus Limit yang Sama
Ketiga masalah di bawah ini menunjukkan limit yang sama, yaitu  $\lim_{x \to a }f(x)=L$

Limit Satu Sisi

Menggambarkan sikap fungsi kalau peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau  kanan

Ilustrasi:

Diketahui: f (x) = [[x]], x anggota dari 2 [-1, 2)

Dari grafik:

1) nilai f (x) dapat dibentuk sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0 dari arah kiri dan x # 0.

Notasi: $\lim_{x \to 0^{-} }f(x)=-1$

2) nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0 dari arah kanan dan x # 0.

Notasi: $\lim_{x \to 0^{+} }f(x)=-1$

Definisi [limit kanan]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) dikala x mendekati a (limit f (x) dikala x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis

$\lim_{x \to a^{+} }f(x)=L$

apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a dan x > a.

Definisi [limit kiri]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) dikala x mendekati a (limit f (x) dikala x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis

$\lim_{x \to a^{-} }f(x)=L$

apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a dan x < a.

Teorema [hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi]

$\lim_{x \to a }f(x)=L$ kalau dan hanya jika  $\lim_{x \to a^{+} }f(x)=L=\lim_{x \to a^{-} }f(x)$

Limit Tak Hingga

Menggambarkan sikap nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas kalau peubahnya mendekati suatu titik

Ilustrasi:

Diketahui:  $\frac{1}{x^{2}}$

Dari grafik:

nilai f (x) sanggup dibentuk sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi:  $\lim_{x \to 0 }f(x)=\infty$

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan  $\infty$, ditulis

$\lim_{x \to a }f(x)=\infty$

apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a, tetapi x # a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $\infty$ yaitu f(x) --> $\infty$  bila x--> a

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = - 1/x^2

Dari grafik:

nilai f (x) sanggup dibentuk sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup bersahabat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi: $\lim_{x \to 0 }f(x)= - \infty$

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan $- \infty$ , ditulis

$\lim_{x \to a }f(x)=- \infty$

apabila nilai f (x) sanggup dibentuk sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup bersahabat ke a tetapi x # a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) dikala x mendekati a sama dengan $- \infty$ yaitu f(x) --> $- \infty$ bila x--> a

Definisi serupa sanggup diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi:

Hukum Limit

Teorema Limit Utama

Teorema

Misalkan c konstanta, n bilangan bundar faktual dan kedua limit $\lim_{x \to a }f(x)$ dan $\lim_{x \to a }g(x)$

ada, maka :

Teorema:

Teorema Substitusi

Teorema

Jika f yaitu polinom atau fungsi rasional dan a di dalam kawasan asal f, maka  $\lim_{x \to a }f(x)=f(a)$

Pertidaksamaan Limit

Teorema

Jika f (x) ≤ g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka

$\lim_{x \to a }f(x)\leqslant \lim_{x \to a }g(x)$

Teorema Apit
Teorema

Jika f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) pada waktu x bersahabat a (kecuali mungkin di a)

dan $\lim_{x \to a }f(x)=L= \lim_{x \to a }h(x),$, maka $\lim_{x \to a }g(x)=L$

Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan di Satu Titik

Definisi [Kekontinuan di satu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila  $\lim_{x \to a }f(x)= f(a)$

Catatan:

Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik

Teorema:

Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c yaitu konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:

1) f + g

2) f - g

3) cf

4) fg

5) f/g kalau g(a) # 0

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit

Teorema [Limit fungsi komposit]

Jika f kontinu pada b dan $\lim_{x \to a }g(x)= b$, maka $\lim_{x \to a }f(g(x))= f(\lim_{x \to a }g(x))$

Teorema [Kekontinuan fungsi komposit]

Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f o g kontinu pada a.

Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan

Definisi [Kontinu kiri]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila
$\lim_{x \to a^{-} }f(x)= f(a)$

Definisi [Kontinu kanan]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila $\lim_{x \to a^{+} }f(x)= f(a)$

Kekontinuan pada Interval

Definisi [Kekontinuan pada interval]

1. Fungsi f kontinu pada interval (a, b), kalau f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.
2. ungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

Teorema
Fungsi-fungsi berikut kontinu pada kawasan asalnya:

1. Fungsi polinom
2. Fungsi rasional
3. Fngsi trigonometri
4. Fungsi akar
5. Fungsi eksponen
6. Fungsi logaritma
7. Fungsi nilai mutlak

Teorema Nilai Antara

Teorema

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N yaitu bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c anggota dari (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.

Kegunaan Teorema Nilai Antara

1)    Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.

2)    Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.

3)    Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post