Contoh Soal Dan Tanggapan - Limit, Kekontinuan Dan Teorema Apit

Pada kesempatan kali ini, aku akan memperlihatkan beberapa rujukan soal wacana limit dan kekontinuan plus dengan jawabannya. Sebelum masuk pada rujukan soal, ada baiknya jikalau terlebih dahulu membaca dan mengerti materinya.

Untuk membaca materinya, sanggup klik Limit dan Kekontinuan

Langsung saja, berikut ini yaitu contoh-contoh soal beserta jawabannya.

Bagian 1
Tentukan limit-limit berikut jikalau ada, jikalau tidak ada maka berikan alasannya.
$1. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}$
$2. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}$

Jawab:
1. Diperoleh
$\lim_{x\rightarrow2 }\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2 }\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1$

2. Diperoleh
Karena
 $\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &;x\geq 0 \\ -x & ;x< 0 \end{matrix}\right.$
maka:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{x}=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{-x}=+\infty$
Sehingga:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}=+\infty$

Bagian 2
Diberikan fungsi f sebagai berikut:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} &;x\leq a \\ 2x+3 & ;x> a \end{matrix}\right.$
Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:
$f(a)=a^{2}$
$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3$
$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}x^{2}=a^{2}$
Agar f kontinu di x = a maka haruslah
$a^{2}=2a+3\Leftrightarrow a^{2}-2a-3 =0\Leftrightarrow (a-3)(a+1)\Leftrightarrow a=3 ; a=-1$

Bagian 3
Tentukan limit berikut ini jikalau ada:
$\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )=\lim_{x\rightarrow 25}2001+\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)}{\sqrt{x}-5}.\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}$
$=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)(\sqrt{x}+5)}{x-25}$
$=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\sqrt{x}+5=2001+5+5=2011$

Bagian 4
Hitunglah limit-limit berikut jikalau ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.
a) $\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)=1+2009=2010$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}$ tidak memiliki limit alasannya $\sqrt{x-1}$ tidak terdefinisi di x < 1.

c) $\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}=\lim_{x\rightarrow -2^{+}}(3-\frac{2}{x+2}-x)=-\infty$

d) $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{2-x}$

Jawab:
Misalkan $f(x)=\sqrt{2-x}$, maka f terdefinisi bila 2 - x >= 0 atau x<= 0. Dengan kata lain f tidak terdefinisi di x > 2 sehingga $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}$ tidak ada. Akibatnya $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}$ tidak ada.

Bagian 5
Diketahui:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} -2 &;-4\leq x\leq -1 \\ x-1 &;-1< x\leq 0 \\ x^{2} & x> 0 \end{matrix}\right.$
Periksa kekontinuan fungsi f di:
a) x = 0
b) x = -1

Jawab:
a) Perhatikan bahwa:
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1$
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}=0$
alasannya -1 # 0 maka limit $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ tidak ada. Akibatnya f tidak kontinu di x = 0.
b) Perhatikan bahwa:
$\lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(-2)=-2$
$\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{+}}(x-1)=-2$
sehingga f (-1) = -2
Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

Bagian 6
Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi wacana suatu fungsi. Ada fungsi f yang kontinu di selang [-1 , 3] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit berikut:
$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1;\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=2; \lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2$
Bantulah Teri dan Tera menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a) tentukan f(-1) beserta alasannya
b) tentukan $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)$ beserta alasannya

Jawab:
a) f (-1) = 2 alasannya f kontinu(kanan) di x = -1 sehingga $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2=f(-1)$
b) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2$ alasannya f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2=f(3)$

Bagian 7
Diketahui fungsi f dan g kontinu di R dengan g(x)>5, untuk setiap x anggota R dan |f(x) - cos x| =< g(x) -5. Jika $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5$ maka dengan memakai Teorema Apit atau yang sering disebut Teorema Jepit, tentukan $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$.

Jawab:
Perhatikan bahwa:
|f(x) - cos x| =< g(x) -5
<==> - (g(x) - 5) =< f(x) - cos x =< g(x) -5
<==> 5 - g(x) + cos x =< f(x) =< g(x) - 5 + cos x
Karena $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5$ maka:
$\lim_{x\rightarrow 0}(5-g(x)+cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}(-g(x))+\lim_{x\rightarrow 0}5+\lim_{x\rightarrow 0}cos x=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}(g(x)-5+cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)+\lim_{x\rightarrow 0}5+\lim_{x\rightarrow 0}cos x=1$
sehingga berdasarkan Teorema Apit $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$

Bagian 8
Dengan memakai Teorema Apit, hitunglah:
$\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{sin x}{x} \right |$

Jawab:
Diperoleh:
$-1\leq sin x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq \left | sinx \right |\leq 1$
$\Leftrightarrow 0\leq \left | \frac{sin x}{x}\right |\leq \frac{1}{\left | x \right |}$
$\Leftrightarrow 0\leq x^{2} \left | \frac{sin x}{x}\right |\leq \frac{x^{2}}{\left | x \right |}$
Karena $\lim_{x\rightarrow 0}0=0$ dan
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{ x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0$
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{ -x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0$
sehingga, $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=0$ maka berdasarkan Teorema Apit sanggup disimpulkan bahwa:
$\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{sin x}{x} \right |=0$

Bagian 9
Misalkan fungsi f memenuhi $\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq sin^{2}(x-2)$ untuk semua x yaitu bilangan real. Dengan Teorema Apit tentukan $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$

Jawab:
$\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq sin^{2}(x-2)$
$\Leftrightarrow -\sin ^{2}(x-2)\leq f(x)+1\leq \sin ^{2}(x-2)$
$\Leftrightarrow -sin^{2}(x-2)-1\leq x^{2}f(x)\leq \sin^{2}(x-2)-1$
$\Leftrightarrow \frac{-sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\leq f(x)\leq \frac{sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}$
Karena
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}=-\frac{1}{4}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}$
maka berdasarkan Teorema Apit atau Teorema Jepit diperoleh:
$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\frac{1}{4}$

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post