Pembuktian Rumus Turunan Tan X

Anda yang hingga pada halaman ini niscaya ialah orang jenius yang ingin tahu kenapa turunan tan x ialah sec² x? Darimana datangnya rumus turunan tan x=sec ²x (asumsi turunan terhadap x).

Turunan secara pendekatan limit dapat ditulis, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$

Disini juga akan dipakai beberapa rumus trigonometri yaitu,
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
cos (A+B) = cos A cos B-sin A sin B

Identitas trigonometri $$ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 \\ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \\ \sec A = \frac{1}{\cos A } $$
Mari kita mulai menandakan turunan tan adalah,
$$ \text {misal } f(x) = \tan x \\ \text {sesuai identitas} \\ f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \text {maka } \\ f(x+h) = \frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)} \\ f(x+h) = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $$
Silahkan pahami sejenak peneggunaan identitas trigonometri di atas. Jika sudah tidak lagi berkerut kening Anda, kita lanjutkan.
$$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x( \cos x \cos h - \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } $$

$$ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos ^2 x + \sin ^2 x ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 1 ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } $$
$$ = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x 1 - \sin x .0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x - 0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ = \sec x . \sec x \\ = \sec ^2 x $$
Itulah mengapa turunan dari tan x =sec ²x. Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post