Contoh Soal Sbmptn Vektor Bab I

Pada sesi soal dan pembahasan kali ini akan diberikan beberapa pola soal SBMPTN ihwal vektor. Bagian 1 ini akan membahas ihwal penjumlahan dan pengurangan serta vektor yang berkelipatan (sejajar, segaris dan berlawanan arah.

#Soal 1. Bila vektor $$ \overrightarrow {a} (1,4,9) \\ \overrightarrow {b} (2,5,3) \\ \overrightarrow {c} (3,1,2) \\ \overrightarrow {p}= \overrightarrow {a}-2 \overrightarrow {b}+ \overrightarrow {c}$$ maka panjang vektor $ \overrightarrow c$ adalah… $$ a. 11 \\ b. 4 \sqrt 6 \\ c. 3 \sqrt {14} \\ d. 3 \sqrt {17} \\ e. 2 \sqrt 38$$
Pembahasan: $$ \overrightarrow {p}= \overrightarrow {a}-2 \overrightarrow {b}+ \overrightarrow {c} \\ \overrightarrow {p} = (1,4,9) -2(2,5,-3)+3(3,1,-2) \\ \overrightarrow {p} =(1,4,9) – (4,10,-6)+(9,3,-6) \\ \text {yang seposisi di operasikan} \\ \overrightarrow {p}= (6,2,9) \\ |\overrightarrow {p}| = \sqrt {6^2+2^2+9^2} =11$$


#Soal 2. Diketahui vektor $ \overrightarrow a (4,-5,3) $ dan titik P (2,-1,3). Jika panjang PQ sama dengan panjang vektor a, dan PQ berlawanan arah dengan a. Maka koordinat titik Q adalah..
a)(-6,0,0)   b) (-6,6,-6)     c) (-2,4,0)       d) (2,-4,0)      e) (6,-6,6)

Pembahasan: $$ \text {berlawanan arah} \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow { QP} \\ \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {a} \\ P-Q = \overrightarrow {a} \\ (2,-1,3) –Q =(4,-5,3) \\ Q = (2,1,3) –(4,-5,3) =(-2,4,0)$$
#Soal 3. Diketahui $$\overrightarrow {PQ} =(2,0,1) \\ \overrightarrow {PR} =(1,1,2) \\ \overrightarrow {PS}= \frac {1}{2} \overrightarrow {PQ} \\ \overrightarrow {RS}=…$$

Pembahasan: $$ \overrightarrow {RS}= \overrightarrow {RP}+\overrightarrow {PS} \\ \overrightarrow {RS}= - \overrightarrow {PR} + \frac {1}{2} \overrightarrow {PQ} \\ \overrightarrow {RS} =(-1,-1,-2)+ \frac {1}{2} (2,0,1) = (0,-1, \frac {-3}{2})$$ Catatan: Vektor berlawan arah kita tinggal beri tanda negatif. Untuk penjumlahan/pengurangan posisi yang sama dijumlahkan atau dikurangkan.

#Soal 4. Persegi panjang OACB, titik D berada di tengah OA. Titik P yakni perpotongan CD dengan diagonal AB. Jika $$ \overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a} \\ \overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b}$$ maka panjang $\overrightarrow {CP}$ adalah….

Pembahasan:
Lukislah persegi panjang tersebut terlebih dahulu. Akan didapatkan gambar ibarat berikut,

Secara geometris, panjang $AP = \frac {1}{3} AB$. Kembali ke vektor, $$ \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AP} \\ \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CA}+ \frac {1}{3} AB \\ \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CA}+ \frac {1}{3} ( \overrightarrow {AO}+ \overrightarrow {OB}) \\ \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {-b}+ \frac {1}{3} (- \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} \\ \overrightarrow {CP}= - \frac {1}{3} \overrightarrow {a}- \frac {2}{3} \overrightarrow {b}$$
Catatan: AO=-OA=-a. CA = BO =-b.

Soal 5. Diketahui jajaran genjang ABCD. Jika koordinat A(3,3,3) ; B (1,2,-1) dan C (4,1,1). Maka koordinat titik D adalah…

Pembahasan:

D-(3,3,3)= (1,2,-1) – (4,1,1).
D= (1,2,-1) –(4,1,1)+(3,3,3). Operasikan yang seletak.
D= (1-4+3,2-1+3,-1-1+3) =(0,4,1)

#Soal 6. Segitiga ABC mempunyai titik sudut A(6,10,10) ; B(1,0,-5) C; (6,10,0) yakni segitiga….

Pembahasan:
Carilah panjang AB, BC dan AC. $$ AB=B-A =(-5,-10,-15) \\ |AB| = \sqrt {(-5)^2+(-10)^2+(-15(^2)} = \sqrt {350} \\ BC =C-B=(5,10,5) \\ |BC| = \sqrt {5^2+10^2+5^2} = \sqrt {150} \\ AC = C-A = (0,0,10) \\ |AC| =10$$ Karena panjang ke-tiga sisi segitiga tidak memenuhi triple pitagoras dan juga tidak ada yang sama, maka segitiga ABC yakni segitiga sembarang.

#Soal 7. Diketahi titik A(3,-5,2) B(1,4,-3) dan C (7, 3x-5, 7y-2) segaris. Nilai x dan y yang memenuhi adalah…

Pembahasan: pada vektor yang segaris berlaku korelasi kelipatan atau sanggup ditulis $$ AC= k.AB \\ (C-A) = k(B-A) \\ (4,3x-5, 7y-4) = k(-2,9,-5)\\ 4=-2k \rightarrow k= - 2 \\ 3x-5 =k.9 \rightarrow x =-6 \\ 7y-4=k.-5 \rightarrow y=2$$
Soal 8. Diketahui $ \overrightarrow { c} = 16 \overrightarrow {i} – 15 \overrightarrow {j} +12 \overrightarrow { k}$ dan vektor d sejajar berlawanan arah dengan vektor c. Jika |d|=75. Maka tentukanlah vektor d…

Pembahasan:
Untuk vektor sejajar konsepnya sama saja dengan titik yang segaris. Jika c sejajar dengan d maka berlaku korelasi d=k.c $$ \overrightarrow { c }= (16,-15,12) \\ \overrightarrow {d} = k. \overrightarrow {c} \\ \overrightarrow {d} = k(16,-15,12) =(16k,-15k,12k) \\  \overrightarrow {\left |d \right | } = \sqrt {(16k)^2+(-15k)^2+(12k)^2 } \\ 75= \sqrt {(16k)^2+(-15k)^2+(12k)^2 }  \\ k = 3 \\ \overrightarrow {d}=(16k,-15k,12k) = (48,-45,36) \\ \text {berlawanan arah, maka ganti tanda} \\ \overrightarrow {d}= (-48,45,-36)$$
Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post