Contoh Soal Dan Pembahasan Barisan Tak Sampai Dalam Kalkulus

Hallo Gengs 🙌😁 Apa kabar hari ini? Semoga sehat selalu yeee

Pada kesempatan kali ini, aku akan memperlihatkan beberapa pola soal mengenai barisan tak sampai dalam kalkulus.

Bagi yang kurang mengerti  materinya, Gengs sanggup mempelajarinya dengan mengklik link berikut ini: Ringkasan Materi Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Langsung saja yaaaa
Berikut ini merupakan pola soal dan pembahasannya

Nomor 1
Buktikan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ dengan $a_{n}=\frac{2n+3}{n}$ untuk $n\geq 1$ ialah barisan yang konvergen ke 2.

Jawab:
Akan dibuktikan :
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=2$  $\Leftrightarrow n> N\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$

misal: $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
           $\begin{vmatrix} \frac{2n+3-2n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
           $\begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
           $n> \frac{3}{\epsilon } \Rightarrow N=\frac{3}{\epsilon }$

akan dibuktikan: kalau $n> \frac{3}{\epsilon }$ maka $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$

misalkan:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
akan dibuktikan:
$\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$

Bukti:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
$\epsilon > \frac{3}{n }$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n-2n}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n}{n}-2 \end{vmatrix}$
 maka TERBUKTI bahwa  barisan tersebut konvergen ke 2.

Nomor 2

$\begin{Bmatrix} \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)} \end{Bmatrix}$

Dengan memakai teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
$\frac{n}{2n+3}\leq \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)}\leq \frac{n+1}{2n+3}$
$a_{n}=\frac{n}{2n+3}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}$

$c_{n}=\frac{n+1}{2n+3}$
       $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}$
Karena $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\textrm{dan} \begin{Bmatrix} c_{n} \end{Bmatrix}$ ialah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka menurut teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.

Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
$\begin{Bmatrix} \frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya ialah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2$Sehingga dengan gampang sanggup diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.

Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
$\begin{Bmatrix} (-1)^{n}(\ln n^{2})/(n) \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama menyerupai cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} \frac{(-1)^n(\ln n^{2})}{n} \end{vmatrix}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{|\ln n^{2}|}{|n|}$
                                $=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\ln n^{2}}{n}$
                                $=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}2n}{1}$
                                $=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n}=0$
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.

Nomor 5
$a_{n}=\frac{3n+5}{n}$
Gunakan definisi limit untuk menandakan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3 kalau $n\rightarrow \infty$

Jawab:
Diketahui:

$\forall \epsilon > 0,\exists N\ni n> N$
maka $|a_{n}-3|< \epsilon$

Misal:
$|a_{n}-3|< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5-3n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{5}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\Rightarrow \frac{5}{\epsilon }< n$
$\Rightarrow N=\frac{5}{\epsilon }$

akan dibuktikan: kalau $n> \frac{5}{\epsilon }\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
misal : $n> \frac{5}{\epsilon }$
adb: $n> \frac{5}{\epsilon }$

Bukti:
$n> \frac{5}{\epsilon }$
$\Leftrightarrow\epsilon > \frac{5}{n}$
      $\epsilon >| \frac{5}{n}|$
      $\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{5+3n-3n}{n} \end{vmatrix}$
      $\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}$
Maka terbukti $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3.

Demikian contoh-contoh soal dari Barisan Tak Hingga.

Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post