Rangkuam Bahan - Deret Taylor, Maclaurin Dan Deret Binomial

Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Pada kesempatan kali ini kita akan menyidik duduk kasus yang lebih umum yaitu fungsi manakah yang mempunyai penyaian deret pangkat dan bagaimana menentukannya?

Kita akan memulainya dengan memisalkan suatu fungsi f sebagai sembarang fungsi yang sanggup kita nyatakan sebagai deret pangkat.
$f(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan di atas sehingga akan menghasilkan $f(a)=c_{0}$.

Jika persamaan f(x) di atas diturunkan, maka akan di peroleh sebagai berikut.
$f'(x)=c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^{2}+4c_{4}(x-a)^{3}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan di atas sehingga akan menghasilkan $f'(a)=c_{1}$.

Jika persamaan f '(x) di atas diturunkan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut ini.
$f''(x)=2c_{2}+2.3c_{3}(x-a)+3.4c_{4}(x-a)^{2}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan di atas sehingga akan menghasilkan $f''(a)=2c_{2}$.

Jika persamaa f ''(x) diturunkan, maka kita akan peroleh persamaan f '''(x) menyerupai berikut ini.
$f'''(x)=2.3c_{3}+2.3.4c_{4}(x-a)+3.4.5c_{5}(x-a)^{2}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan f '''(x) di atas sehingga akan menghasilkan $f'''(a)=2.3c_{3}=3!c_{3}$.

Jika proses di atas dilanjutkan terus, maka secara umum kita akan peroleh:
$f^{n}(a)=2\times 3\times 4\times 3\times ...\times n\times c_{n}$
ATAU
$c_{n}=\frac{f^{{n}}a}{n!}$

Jika f mempunyai penyaian deret pangkat di a, yaitu jika
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},\mid x-a \mid < \mathbb{R}$
maka koefisiennya diberikan oleh:
$c_{n}=\frac{f^{n}a}{n!}$

CATATAN
Koefisien $c_{n}$ di atas yaitu tunggal. Jadi, jikalau f memiliki penyaian deret pangkat di a, maka deretnya niscaya berbentuk:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}a}{n!}(x-a)^{n}$
$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...$
Suatu fungsi tidak sanggup digambarkan oleh lebih dari satu deret pangkat dari (x - a).
Deret pada persamaan di atas disebut deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a).

Untuk kasus khusus ketika a = 0, maka deret Taylor-nya akan menjadi menyerupai berikut ini:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+...$
Deret ini sering muncul sehingga diberi nama khusu sebagai deret Maclaurin.

Teorema Taylor

Misalkan f yaitu fungsi yang mempunyai turunan pada semua tingkatan untuk $x\in (a-\mathbb{R},a+\mathbb{R})$. Syarat perlu dan syarat cukup biar fungsi tersebut sama dengan deret Taylor-nya adalah
$\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)=0$
dengan $R_{n}(x)$ yaitu suku sisa dalam rumus Taylor, yaitu:
$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
untuk sembarang $c\in (a-\mathbb{R},a+\mathbb{R})$

CATATAN
1. Jika kita ingin mengetahui nilai fungsi f(x) untuk x di sekitar a, maka lebih baik memakai deret Taylor untuk fungsi tersebut di a.
2. Jika $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)\neq 0$, maka deret Taylor untuk fungsi f(x) mungkin saja konvergen pada suatu selang, tetapi tidak menggambarkan fungsi f(x) pada selang tersebut.

Misalkan $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$  dan $g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$  yaitu dua deret pangkat yang masing-masing konvergen untuk paling tidak $\mid x \mid < \mathbb{R}$, dengan R suatu bilangan nyata. Jika penumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dilakukan terhadap deret-deret tersebut dengan memperlakukannya sebagai suku banyak, maka deret-deret yang diperoleh akan konvergen untuk $\mid x \mid < \mathbb{R}$, dan masing-masing menyatakan fungsi $f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x) dan f(x)/g(x)$ jikalau $g_{0}\neq 0$.

Deret Binomial

Deret Binomial merupakan salah satu bentuk khusus dari deret Maclaurin.

Teorem deret Binomial

Untuk setiap bilangan kasatmata p dan x dengan |x| < 1 berlaku
$(1+x)^p =1+\begin{pmatrix} p\\ 1 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} p\\ 2 \end{pmatrix}x^2 +\begin{pmatrix} p\\ 3 \end{pmatrix}x^3+...$
dengan
$\begin{pmatrix} p\\ k \end{pmatrix}=\frac{p(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k!}$

Beberapa deret Maclaurin yang penting

Demikian Rangkuam Materi - Deret Taylor, Maclaurin Dan Deret Binomial.
Semoga bermanfaat
Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post