Menentukan Rumus Suatu Fungsi Jikalau Fungsi Komposisi Dan Fungsi Lainnya Diketahui

Pada postingan sebelumnya telah dibahas mengenai bagaimana caranya mengkomposisikan dua buah fungsi menjadi fungsi komposisi disini. Seandainya ada pertanyaan menyerupai ini, "Bisa ga sih kita memilih rumus suatu fungsi kalau fungsi komposisi dan fungsi lainnya diketahui?" Jawabannnya "tentu saja bisa". Perhatikan gambar ini.

Dari gambar itu, penjelesan sederhananya begini.

Jika fungsi $f(x)$ dan $(f\circ g)(x)$ pada soal diketahui, maka fungsi $g(x)$ sanggup ditentukan.

Jika fungsi $f(x)$ dan $(g\circ f)(x)$ pada soal diketahui, maka fungsi $g(x)$ sanggup ditentukan.

Begitu juga untuk dua kasus terakhir.

Nahh.. agar paham bacalah beberapa pola soal berikut. eittt.. jangan cuma dibaca tetapi juga dipahami.

CONTOH SOAL 1

Diketahui $f(x)=x+2$ dan $f\circ g)(x)=3x-5$. Tentukanlah rumus $g(x)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} \textrm{Diketahui}:\;f(x)&=x+2\\ (f\circ g)(x)&=3x-5\\ \textrm{Ditanya}:\;g(x)&=? \end{align*}$

Penyelesaian:

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=3x-5\\ f(g(x))&=3x-5\\ g(x)+2&=3x-5\\ g(x)&=3x-5-2\\ g(x)&=3x-7 \end{align*}$ 

Jadi, rumus $g(x)=3x-7$

CONTOH SOAL 2

Suatu pemetaan $\begin{align*} f:R\rightarrow R,\;g:R\rightarrow R \end{align*}$  dengan $(g\circ f)(x)=2x^{2}+4x+5$ dan $g(x)=2x+3$, tentukan rumus $f(x)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=2x^{2}+4x+5\\ g(f(x))&=2x^{2}+4x+5\\ 2f(x)+{\color{Red} 3}&=2x^{2}+4x+5\\ 2f(x)&=2x^{2}+4x+5-{\color{Red} 3}\\ f(x)&=\frac{2x^{2}+4x+2}{2}\\ f(x)&=x^{2}+2x+1\\ \end{align*}$ 

Jadi, rumus $f(x)=x^{2}+2x+1$

CONTOH SOAL 3

Diketahui $\begin{align*} f:R\rightarrow R \end{align*}$  dan $\begin{align*} f:R\rightarrow R \end{align*}$ dinyatakan oleh $f(x)=x+2$ dan $(g\circ f)(x)=2x^{2}+4x+1$, maka tentukan $g(2x)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=2x^{2}+4x+1\\ g(f(x))&=2x^{2}+4x+1\\ g(x+2)&=2x^{2}+4x+1\\ \end{align*}$ 

Misalkan $x+2=y$ maka $\begin{align*} x={\color{Red} y}{\color{Red} -}{\color{Red} 2} \end{align*}$  sehingga:

$\begin{align*} g(y)&=2({\color{Red} y}{\color{Red} -}{\color{Red} 2})^{2}+4({\color{Red} y}{\color{Red} -}{\color{Red} 2})+1\\ g(y)&=2(y^{2}-4y+4)+4y-8+1\\ g(y)&=2y^{2}-8y+8+4y-7\\ g(y)&=2y^{2}-4y+1\\ g(x)&=2x^{2}-4x+1\\ g(2x)&=2(2x)^{2}-4(2x)+1\\ g(2x)&=8x^{2}-8x+1\\ \end{align*}$
Jadi, $g(2x)=8x^{2}-8x+1$

CONTOH SOAL 4

Diketahui fungsi $g(x)=2x-1$ dan $(f\circ g)(x)=4x^{2}+10x+11$. Tentukan nilai $f(-2)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=4x^{2}+10x+11\\ f(g(x))&=4x^{2}+10x+11\\ f(2x-1)&=4x^{2}+10x+11\\ \end{align*}$ 

Misalkan: $\begin{align*} 2x-1=y \end{align*}$, maka $\begin{align*} x=\frac{y+1}{2} \end{align*}$  sehingga:

$\begin{align*} f(y)&=4\left ( \frac{y+1}{2} \right )^{2}+10\left ( \frac{y+1}{2} \right )+11\\ f(y)&=4\left ( \frac{y^{2}+2y+1}{4} \right )+5y+5+11\\ f(y)&=y^{2}+2y+1+5y+16\\ f(y)&=y^{2}+7y+17\\ f(x)&=x^{2}+7x+17\\ f(-2)&=(-2)^{2}+7(-2)+17\\ f(-2)&=4-14+17\\ f(-2)&=7 \end{align*}$

Jadi, $f(-2)=7$.

CONTOH SOAL 5

Diketahui $(g\circ f)(x)=4x^{2}+4x$ dan $g(x)=x^{2}-1$. Tentukanlah nilai $f(x-2)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=4x^{2}+4x\\ g(f(x))&=4x^{2}+4x\\ f^{2}(x)-1&=4x^{2}+4x\\ f^{2}(x)&=4x^{2}+4x+1\\ f(x)&=\sqrt{4x^{2}+4x+1}\\ f(x-2)&=\sqrt{4(x-2)^{2}+4(x-2)+1}\\ f(x-2)&=\sqrt{4(x^{2}-4x+4)+4x-8+1}\\ f(x-2)&=\sqrt{4x^{2}-16x+16+4x-7}\\ f(x-2)&=\sqrt{4x^{2}-12x+9}\\ f(x-2)&=\sqrt{(2x-3)^{2}}\\ f(x-2)&=2x-3 \end{align*}$

Jadi, $f(x-2)=2x-3$

CONTOH SOAL 6

UN 2017
Diketahui $f:\rightarrow R$ dan $g:\rightarrow R$ dengan $g(x)=-x+3$ dan $(f\circ g)(x)=4x^{2}-26x+32$,maka nilai $f(1)$ ialah ....
(A) $-5$
(B) $-4$
(C) $-3$
(D) $3$
(E) $4$

PEMBAHASAN

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=4x^{2}-26x+32\\f(g(x))&=4x^{2}-26x+32\\f(-x+3)&=4x^{2}-26x+32\end{align*}$
Misalkan $-x+3=y$ maka $x=3-y$ sehingga:
$\begin{align*} f(y)&=4(3-y)^{2}-26(3-y)+32\\ f(y)&=4(9-6y+y^{2})-78+26y+32\\ (y)&=36-24y+4y^{2}+26y-46\\ f(y)&=4y^{2}+2y-10\\ f(x)&=4x^{2}+2x-10\\f(1)&=4(1)^{2}+2(1)-10\\ f(1)&=4+2-10\\ f(1)&=-4\end{align*}$
Jadi, $f(1)=-4$.

CONTOH SOAL 7

UN 2006
Jika $g(x)=x+3$ dan $(f\circ g)(x)=x^{2}-4$,maka $f(x-2)=....$
(A) $x^{2}-6x+5$
(B) $x^{2}+6x+5$
(C) $x^{2}-10x+21$
(D) $x^{2}-10x-21$
(E) $x^{2}+10x+21$

PEMBAHASAN

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=x^{2}-4\\f(g(x))&=x^{2}-4\\f(x+3)&=x^{2}-4\end{align*}$

Misalkan: $x+3=m$ maka $x=m-3$ sehingga:
$\begin{align*}f(m)&=(m-3)^{2}-4\\f(m)&=m^{2}-6m+9-4\\f(m)&=m^{2}-6m+5\\f(x)&=x^{2}-6x+5\\f(x-2)&=(x-2)^{2}-6(x-2)+5\\f(x-2)&=x^{2}-10x+21\end{align*}$

CONTOH SOAL 8

Diketahui $f:R\rightarrow R$ didefenisikan sebagai $\begin{align*} (f\circ g)(x)=\frac{2x-3}{x+4} \end{align*}$, dengan $x\neq -4$ dan $g(x)=1-x$, maka $f(x)=....$

(A) $\begin{align*} \frac{1-x}{x+4},\;x\neq-4 \end{align*}$ 

(B) $\begin{align*} \frac{2x+1}{x-5},\;x\neq 5 \end{align*}$ 

(C) $\begin{align*} \frac{7-x}{x+4},\;x\neq-4 \end{align*}$

(D) $\begin{align*} \frac{2x-1}{x+5},\;x\neq-5\end{align*}$ 

(E) $\begin{align*} \frac{3x+1}{x+4},\;x\neq-4 \end{align*}$

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=\frac{2x-3}{x+4}\\ f(g(x))&=\frac{2x-3}{x+4}\\ f(1-x)&=\frac{2x-3}{x+4}\\ \end{align*}$ 

Misalkan $1-x=a$ maka $x=1-a$ sehingga:

$\begin{align*} f(1-x)&=\frac{2x-3}{x+4}\\ f(a)&=\frac{2(1-a)-3}{(1-a)+4}\\ f(a)&=\frac{-2a-1}{-a+5}\\ f(a)&=\frac{2a+1}{a-5}\\ f(x)&=\frac{2x+1}{x-5}\\ \end{align*}$ 

Jadi, $\begin{align*} f(x)&=\frac{2x+1}{x-5} \end{align*}$

Semoga uraian dari beberapa pola soal di atas gampang dipahami dan memberi manfaat bagi yang memerlukan. Seperti biasa, kalau ditemukan kesalahan balasan atau pun kesalahan dalam penulisan, penulis harap segera dikomentari pada kolom komentar di bawah. Untuk soal tingkat lanjut, akan segera penulis terbitkan. Oleh alasannya ialah itu, pantengin terus yang blog ini...:)

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post